**Exercice 1 : Projection d'un disque de rayon 2** 1. Pour $\theta=0^\circ$ : - Le principe de projection consiste à intégrer la densité $f(x,y)$ le long de lignes parallèles à l'axe $y$. Cela revient à fixer $x=s$ et intégrer $f(s,y)$ en $y$. - Le disque est défini par $f(x,y)=\mu_0=1$ si $x^2+y^2 \leq R^2=4$, sinon 0. - Pour une position $s$ sur le détecteur, l'intégration est sur tous $y$ tels que $s^2 + y^2 \leq 4 \Rightarrow |y| \leq \sqrt{4 - s^2}$. - Donc la projection est: $$ p(s,0^\circ) = \int_{-\sqrt{4 - s^2}}^{\sqrt{4 - s^2}} 1 \, dy = 2 \sqrt{4 - s^2} \quad \text{pour} |s| \leq 2 $$ sinon $p(s,0^\circ)=0$. - Le profil de projection est donc une demi-ellipse, nulle en $|s|>2$. 2. Pour $\theta=45^\circ$ : - Les lignes d'intégration sont orientées à $45^\circ$, donc on intègre le long de la direction perpendiculaire à ce angle. - La variable $s$ correspond à la position sur le détecteur, suivant $s = x\cos 45^\circ + y \sin 45^\circ = \frac{x+y}{\sqrt{2}}$. - On définit une autre variable $t = -x \sin 45^\circ + y \cos 45^\circ = \frac{-x + y}{\sqrt{2}}$ qui est la direction d'intégration. - La projection est $$ p(s,45^\circ) = \int f(x,y) \, dt = \int f\left(\frac{s - t}{\sqrt{2}}, \frac{s + t}{\sqrt{2}}\right) dt $$ - Puisque le disque est centré, la distance au centre est $$ x^2 + y^2 = \left(\frac{s - t}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{s + t}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{(s - t)^2 + (s + t)^2}{2} = \frac{2s^2 + 2t^2}{2} = s^2 + t^2 $$ - Les intégration limite en $t$ est où $s^2 + t^2 \leq 4$ donc $|t| \leq \sqrt{4 - s^2}$. - Ainsi, $$ p(s,45^\circ) = \int_{-\sqrt{4 - s^2}}^{\sqrt{4 - s^2}} 1 \, dt = 2 \sqrt{4 - s^2} \quad \text{pour} |s| \leq 2 $$ sinon 0. - On constate que $p(s,45^\circ) = p(s,0^\circ)$, la projection est identique pour tout angle sur un disque centré. **Exercice 2 : Projection d'un rectangle de largeur 2 et hauteur 4** 1. La densité est uniforme $\mu_0=1$ dans $$ -1 \leq x \leq 1, \quad -2 \leq y \leq 2 $$ et 0 ailleurs. Donc $$ f(x,y) = \begin{cases} 1 & \text{si } |x| \leq 1 \text{ et } |y| \leq 2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ 2. Pour $\theta=0^\circ$, on projette selon l'axe $y$ : $$ p(s,0^\circ) = \int_{-2}^{2} f(s,y) dy $$ - Pour $|s| \leq 1$, $f(s,y) = 1$, donc $$ p(s,0^\circ) = \int_{-2}^{2} 1 dy = 4 $$ - Pour $|s| > 1$, $p(s,0^\circ) = 0$. 3. Pour $\theta=90^\circ$, la projection est selon $x$ : $$ p(s, 90^\circ) = \int_{-1}^{1} f(x,s) dx $$ - Pour $|s| \leq 2$, $f(x,s) =1$, donc $$ p(s,90^\circ)=\int_{-1}^{1} 1 dx=2 $$ - Pour $|s| > 2$, $p=0$. **Exercice 3 : Projection d'un disque de rayon 3 et densité $\mu_0$** 1. Pour $\theta=0^\circ$ : $$ p(s,0^\circ) = \int_{-\sqrt{9 - s^2}}^{\sqrt{9 - s^2}} \mu_0 dy = 2 \mu_0 \sqrt{9 - s^2} \quad \text{pour } |s| \leq 3 $$ 2. La forme générale est une fonction en demi-ellipse $$ p(s) = \begin{cases} 2 \mu_0 \sqrt{R^2 - s^2} & |s| \leq R \\ 0 & |s| > R \end{cases} $$ 3. Pour un disque centré, la projection est indépendante de l'angle $\theta$ car la figure est radiale symétrique, donc $$ p(s,\theta) = p(s,0^\circ)$$ **Résumé** : La projection d'un disque centré est une fonction demi-elliptique indépendante de $\theta$. Pour un rectangle, la projection dépend de l'orientation et a la forme d'une fonction constante sur la largeur ou la hauteur projetée.