1. Énoncé du problème : Un avion vole à une vitesse de 350 km/h. Un vent souffle à 80 km/h et permet à l'avion d'atteindre une vitesse résultante de 380 km/h. Nous devons déterminer l'orientation du vent par rapport à la trajectoire initiale de l'avion. 2. Formule utilisée : La vitesse résultante $\vec{v_r}$ est la somme vectorielle de la vitesse de l'avion $\vec{v_a}$ et de la vitesse du vent $\vec{v_w}$. $$\vec{v_r} = \vec{v_a} + \vec{v_w}$$ 3. Notons : - $v_a = 350$ km/h (vitesse de l'avion) - $v_w = 80$ km/h (vitesse du vent) - $v_r = 380$ km/h (vitesse résultante) - $\theta$ l'angle entre la trajectoire initiale de l'avion et la direction du vent 4. En utilisant la loi des cosinus pour les vecteurs : $$v_r^2 = v_a^2 + v_w^2 + 2 v_a v_w \cos \theta$$ 5. Remplaçons par les valeurs : $$380^2 = 350^2 + 80^2 + 2 \times 350 \times 80 \times \cos \theta$$ $$144400 = 122500 + 6400 + 56000 \cos \theta$$ 6. Simplifions : $$144400 = 128900 + 56000 \cos \theta$$ $$144400 - 128900 = 56000 \cos \theta$$ $$15500 = 56000 \cos \theta$$ 7. Isolons $\cos \theta$ : $$\cos \theta = \frac{15500}{56000} = 0.2768$$ 8. Calculons l'angle $\theta$ : $$\theta = \arccos(0.2768) \approx 74^\circ$$ 9. Conclusion : L'orientation du vent par rapport à la trajectoire initiale de l'avion est d'environ 74 degrés.