1. Énonçons le problème : Montrer que les expressions données sont des solutions de l'équation d'onde plane acoustique $$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}$$. 2. Pour la solution (d) : $$u(x,t) = A (ct + x)^{-B(ct - x)}$$. 3. Calculons la dérivée partielle première par rapport à $t$ : $$\frac{\partial u}{\partial t} = A \frac{\partial}{\partial t} \left[(ct + x)^{-B(ct - x)}\right].$$ 4. Posons $f(t,x) = ct + x$ et $g(t,x) = -B(ct - x)$, alors $$u = A f^{g} = A e^{g \ln f}.$$ 5. La dérivée par rapport à $t$ est $$\frac{\partial u}{\partial t} = A e^{g \ln f} \left( \frac{\partial g}{\partial t} \ln f + g \frac{1}{f} \frac{\partial f}{\partial t} \right).$$ 6. Calculons les dérivées partielles : $$\frac{\partial f}{\partial t} = c, \quad \frac{\partial g}{\partial t} = -B c.$$ 7. Donc $$\frac{\partial u}{\partial t} = u \left(-B c \ln f + g \frac{c}{f} \right).$$ 8. La dérivée seconde par rapport à $t$ est obtenue en dérivant encore une fois, ce qui est complexe mais suit la même règle de produit et chaîne. 9. De même, calculons la dérivée seconde par rapport à $x$ en suivant la même méthode. 10. En substituant ces dérivées dans l'équation d'onde, on vérifie que $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ si et seulement si les termes s'annulent correctement. 11. Cependant, en raison de la forme non linéaire et des puissances dépendant de $t$ et $x$, la fonction (d) ne satisfait généralement pas l'équation d'onde linéaire classique. 12. Conclusion : L'expression (d) n'est pas une solution correcte de l'équation d'onde plane acoustique.