1. **Énoncé du problème :** Calculer le moment d'inertie, la vitesse angulaire, puis l'énergie cinétique d'une tige tournant autour de son centre d'inertie, et enfin déterminer le couple nécessaire pour arrêter la tige après 30 tours. 2. **Données :** - Masse $M = 4$ kg - Longueur $L = 10$ cm = 0.1 m - Vitesse de rotation $n = 50$ tours/min - Moment d'inertie $J_\Delta = \frac{1}{12} M L^2$ 3. **Calcul du moment d'inertie $J_\Delta$ :** $$J_\Delta = \frac{1}{12} \times 4 \times (0.1)^2 = \frac{1}{12} \times 4 \times 0.01 = \frac{0.04}{12} = 0.00333\, \text{kg.m}^2$$ 4. **Calcul de la vitesse angulaire $\omega$ en rad/s :** - Convertir tours/min en rad/s : $$\omega = 2 \pi \times \frac{n}{60} = 2 \pi \times \frac{50}{60} = \frac{100 \pi}{60} = \frac{5 \pi}{3} \approx 5.236\, \text{rad/s}$$ 5. **Calcul de l'énergie cinétique de rotation $E_c$ :** Formule : $$E_c = \frac{1}{2} J_\Delta \omega^2$$ Calcul : $$E_c = \frac{1}{2} \times 0.00333 \times (5.236)^2 = 0.001665 \times 27.41 = 0.0456\, \text{J}$$ 6. **Calcul du couple $M$ nécessaire pour arrêter la tige après 30 tours :** - Nombre de tours avant arrêt : $N = 30$ - Travail du couple pour arrêter la tige : $$W = M \times \theta$$ avec $\theta$ en radians : $$\theta = 2 \pi N = 2 \pi \times 30 = 60 \pi \approx 188.5\, \text{rad}$$ - Le travail du couple est égal à l'énergie cinétique initiale : $$M \times \theta = E_c \Rightarrow M = \frac{E_c}{\theta} = \frac{0.0456}{188.5} = 2.42 \times 10^{-4} \text{Nm}$$ **Réponse finale :** - Moment d'inertie $J_\Delta = 0.00333$ kg.m² - Vitesse angulaire $\omega \approx 5.236$ rad/s - Énergie cinétique $E_c \approx 0.0456$ J - Couple $M \approx 2.42 \times 10^{-4}$ Nm