1. **Énoncer la première loi de Kepler** : La première loi de Kepler dit que chaque planète décrit une orbite elliptique autour du Soleil, avec le Soleil situé à l'un des foyers de l'ellipse. Illustration : Pour la Terre, cela signifie que son orbite n'est pas un cercle parfait mais une ellipse, avec le Soleil légèrement décalé du centre. Cette forme elliptique explique les variations de distance entre la Terre et le Soleil au cours de l'année. 2. **Énoncer la deuxième loi de Kepler** : La deuxième loi, ou loi des aires, affirme que le segment reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux. Illustration : Pour une planète en orbite, cela signifie qu'elle se déplace plus rapidement lorsqu'elle est proche du Soleil (périhélie) et plus lentement lorsqu'elle en est éloignée (aphélie), de façon à ce que l'aire balayée reste constante sur des intervalles de temps égaux. 3. **Énoncer la troisième loi de Kepler** : La troisième loi établit que le carré de la période de révolution $T$ d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe $a$ de son orbite : $$T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_S} a^3$$ où $G$ est la constante gravitationnelle et $M_S$ la masse du Soleil. Données pour Mercure : - Période $T = 88$ jours terrestres - Demi-grand axe $a = 0,39$ unités astronomiques (U.A.) Pour calculer la masse du Soleil $M_S$, on réarrange la formule : $$M_S = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}$$ Convertissons la période en secondes et le demi-grand axe en mètres (1 U.A. = $1,496 \times 10^{11}$ m, 1 jour = 86400 s) : $$T = 88 \times 86400 = 7,603,200 \text{ s}$$ $$a = 0.39 \times 1.496 \times 10^{11} = 5.8344 \times 10^{10} \text{ m}$$ En substituant : $$M_S = \frac{4\pi^2 (5.8344 \times 10^{10})^3}{G (7,603,200)^2}$$ Sachant que la constante de Kepler est donnée par $\frac{4\pi^2}{G M_S}$, on peut isoler $M_S$ ou utiliser la valeur connue de $G = 6.67430 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$. Calculons : $$a^3 = (5.8344 \times 10^{10})^3 = 1.986 \times 10^{32}$$ $$T^2 = (7,603,200)^2 = 5.78 \times 10^{13}$$ Donc : $$M_S = \frac{4 \pi^2 \times 1.986 \times 10^{32}}{6.67430 \times 10^{-11} \times 5.78 \times 10^{13}}$$ $$M_S \approx \frac{7.83 \times 10^{33}}{3.86 \times 10^{3}} = 2.03 \times 10^{30} \text{ kg}$$ **Réponse finale** : La masse du Soleil est environ $2.03 \times 10^{30}$ kg, ce qui est cohérent avec la valeur acceptée.