1. **Énoncé du problème :** Nous étudions l'activité d'un noyau radioactif, ici l'iode-131, avec une demi-vie $t_{1/2} = 8$ jours. 2. **Définition de l'activité :** L'activité $A$ d'un noyau radioactif est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle se mesure en becquerels (Bq) où $1\,\text{Bq} = 1$ désintégration/seconde. 3. **Formule importante :** L'activité est reliée au nombre de noyaux $N$ par $A = \lambda N$ où $\lambda$ est la constante de désintégration. La relation entre $\lambda$ et la demi-vie est : $$\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$$ 4. **Calcul de la quantité initiale $m_0$ à partir de l'activité initiale $a_0 = 37$ MBq :** - Convertir $a_0$ en Bq : $37$ MBq $= 37 \times 10^6$ Bq. - Trouver $N_0$ : $$N_0 = \frac{a_0}{\lambda}$$ - Calcul de $\lambda$ : $$\lambda = \frac{\ln(2)}{8 \times 24 \times 3600} = \frac{0.693}{691200} \approx 1.002 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}$$ - Donc : $$N_0 = \frac{37 \times 10^6}{1.002 \times 10^{-6}} \approx 3.69 \times 10^{13} \text{ noyaux}$$ - Masse molaire $M = 131$ g/mol, nombre d'Avogadro $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ mol$^{-1}$. - Masse initiale : $$m_0 = \frac{N_0}{N_A} \times M = \frac{3.69 \times 10^{13}}{6.022 \times 10^{23}} \times 131 \approx 8.03 \times 10^{-9} \text{ g}$$ 5. **Activité après 16 jours :** - $t = 16$ jours = $2 \times t_{1/2}$ - Activité : $$A(t) = A_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = 37 \times 10^6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 9.25 \times 10^6 \text{ Bq}$$ 6. **Montrer que $\frac{m(t)}{m_0} = \frac{1}{2^n}$ à $t = n t_{1/2}$ :** - La masse est proportionnelle au nombre de noyaux restants. - Après $n$ demi-vies, le nombre de noyaux est divisé par $2^n$. - Donc $$\frac{m(t)}{m_0} = \frac{N(t)}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$$ 7. **Durée pour que la masse soit 0,1% de la masse initiale :** - On cherche $n$ tel que $$\left(\frac{1}{2}\right)^n = 0.001 = 10^{-3}$$ - En prenant le logarithme : $$n \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(10^{-3})$$ - $$n = \frac{\ln(10^{-3})}{\ln(1/2)} = \frac{-6.9078}{-0.693} = 9.97 \approx 10$$ - Durée : $$t = n t_{1/2} = 10 \times 8 = 80 \text{ jours}$$ 8. **Activités égales pour iode-131 et iode-132 :** - Demi-vies : $t_{1/2,131} = 8$ jours, $t_{1/2,132} = 13$ h = $13/24 \approx 0.54$ jours. - Constantes : $$\lambda_{131} = \frac{\ln(2)}{8}, \quad \lambda_{132} = \frac{\ln(2)}{0.54}$$ - Activités égales à $t$ : $$A_{131} = A_{132} \Rightarrow N_0 e^{-\lambda_{131} t} \lambda_{131} = N_0 e^{-\lambda_{132} t} \lambda_{132}$$ - Simplification : $$\lambda_{131} e^{-\lambda_{131} t} = \lambda_{132} e^{-\lambda_{132} t}$$ - Prendre logarithme : $$\ln(\lambda_{131}) - \lambda_{131} t = \ln(\lambda_{132}) - \lambda_{132} t$$ - Résoudre pour $t$ : $$t = \frac{\ln(\lambda_{132}) - \ln(\lambda_{131})}{\lambda_{132} - \lambda_{131}}$$ - Calcul numérique : - $\lambda_{131} = \frac{0.693}{8} = 0.0866$ jour$^{-1}$ - $\lambda_{132} = \frac{0.693}{0.54} = 1.283$ jour$^{-1}$ - $$t = \frac{\ln(1.283) - \ln(0.0866)}{1.283 - 0.0866} = \frac{0.248 - (-2.448)}{1.196} = \frac{2.696}{1.196} \approx 2.25 \text{ jours}$$ **Réponse finale :** - $m_0 \approx 8.03 \times 10^{-9}$ g - $A(16 \text{ jours}) = 9.25 \times 10^6$ Bq - $\frac{m(t)}{m_0} = \frac{1}{2^n}$ - Durée pour 0,1% masse restante $\approx 80$ jours - Activités égales après $\approx 2.25$ jours