1. **Énoncé du problème :** Nous étudions la désintégration radioactive de l'iode-131, un isotope utilisé en médecine, avec une demi-vie $t_{1/2} = 8$ jours. 2. **Définition de l'activité :** L'activité $A$ d'un noyau radioactif est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle s'exprime par la formule : $$A = \lambda N$$ avec $\lambda$ la constante de désintégration et $N$ le nombre de noyaux présents. 3. **Pourquoi l'iode-131 est adapté pour la thyroïde ?** L'iode-131 est adapté car il émet des particules $\beta^-$ qui détruisent les cellules thyroïdiennes malades, et sa demi-vie de 8 jours est suffisante pour agir sans rester trop longtemps dans l'organisme. 4. **Équation de désintégration :** L'iode-131 se désintègre en xénon-131 par émission $\beta^-$ : $$^{131}_{53}I \rightarrow ^{131}_{54}Xe + \beta^- + \bar{\nu}_e$$ 5. **Calcul de la masse initiale $m_0$ pour une activité $a_0 = 37$ MBq :** - Convertir $a_0$ en Bq : $37 \times 10^6$ Bq - La constante de désintégration est liée à la demi-vie par : $$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{8 \times 24 \times 3600} = 1.002 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}$$ - L'activité est aussi : $$a_0 = \lambda N_0$$ - Donc le nombre initial de noyaux : $$N_0 = \frac{a_0}{\lambda} = \frac{37 \times 10^6}{1.002 \times 10^{-6}} = 3.69 \times 10^{13}$$ - La masse molaire $M = 131$ g/mol, et le nombre d'Avogadro $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ mol$^{-1}$ - La masse initiale : $$m_0 = \frac{N_0}{N_A} \times M = \frac{3.69 \times 10^{13}}{6.022 \times 10^{23}} \times 131 = 8.03 \times 10^{-9} \text{ g}$$ 6. **Activité après 16 jours :** - Après $t=16$ jours, soit $2$ demi-vies, $$A(t) = A_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 37 \times 10^6 \times \frac{1}{4} = 9.25 \times 10^6 \text{ Bq}$$ 7. **Montrer que $\frac{m(t)}{m_0} = \frac{1}{2^n}$ à $t = n t_{1/2}$ :** - La masse est proportionnelle au nombre de noyaux : $$m(t) = m_0 e^{-\lambda t}$$ - Or $t = n t_{1/2}$, donc $$m(t) = m_0 e^{-\lambda n t_{1/2}} = m_0 \left(e^{-\lambda t_{1/2}}\right)^n$$ - Comme $e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2}$, on a $$\frac{m(t)}{m_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$$ 8. **Durée pour que la masse soit 0,1% de la masse initiale :** - On cherche $t$ tel que $$\frac{m(t)}{m_0} = 0.001 = \left(\frac{1}{2}\right)^n$$ - Donc $$n = \frac{\ln 0.001}{\ln \frac{1}{2}} = \frac{-6.9078}{-0.693} = 9.97$$ - La durée est $$t = n t_{1/2} = 9.97 \times 8 = 79.8 \text{ jours}$$ 9. **Temps pour égalité des activités de deux isotopes :** - Activités : $$A_1 = \lambda_1 N_0 e^{-\lambda_1 t}, \quad A_2 = \lambda_2 N_0 e^{-\lambda_2 t}$$ - Égalité $A_1 = A_2$ implique $$\lambda_1 e^{-\lambda_1 t} = \lambda_2 e^{-\lambda_2 t}$$ - Posons $x = t$, on a $$\ln \lambda_1 - \lambda_1 x = \ln \lambda_2 - \lambda_2 x$$ - D'où $$x = \frac{\ln \lambda_1 - \ln \lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$$ - Avec $$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$ - Pour $t_{1/2,1} = 8$ jours, $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{8}$ - Pour $t_{1/2,2} = 13$ h = 0.5417 jours, $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{0.5417}$ - Calcul numérique : $$x = \frac{\ln(\frac{\ln 2}{8}) - \ln(\frac{\ln 2}{0.5417})}{\frac{\ln 2}{8} - \frac{\ln 2}{0.5417}} = \frac{\ln(\frac{1}{8}) - \ln(\frac{1}{0.5417})}{\frac{\ln 2}{8} - \frac{\ln 2}{0.5417}} = \frac{\ln(0.125) - \ln(1.846)}{0.08664 - 1.279} = \frac{-2.079 - 0.613}{-1.192} = \frac{-2.692}{-1.192} = 2.26 \text{ jours}$$ **Réponse finale :** - Masse initiale administrée : $8.03 \times 10^{-9}$ g - Activité après 16 jours : $9.25$ MBq - Fraction de masse après $n$ demi-vies : $\frac{1}{2^n}$ - Durée pour 0,1% de masse restante : $79.8$ jours - Temps pour égalité des activités des isotopes : $2.26$ jours