1. Le problème consiste à trouver l'inclinaison $\alpha$ du miroir plan $(M)$ dont le centre $C$ se déplace le long d'un axe $(\Delta)$ parallèle à $Ox$ et à une distance $H$ de celui-ci, tel que la réflexion du rayon lumineux intercepté par le miroir passe par le point $O$. 2. On note $x$ l'abscisse du centre $C$ du miroir sur l'axe $(\Delta)$. La position de $C$ est donc $(x,H)$. 3. Considérons le faisceau lumineux arrivant verticalement (hypothèse classique dans ce type de problème). L'angle d'incidence sur le miroir doit être tel que le rayon réfléchi passe par $O(0,0)$. 4. La normale au miroir fait un angle $\alpha$ avec l'axe horizontal $Ox$. 5. La direction du rayon réfléchi passe par $O$ et $C$ donc a une pente $m = \frac{0 - H}{0 - x} = -\frac{H}{x}$. 6. La loi de réflexion implique que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence par rapport à la normale. Donc si la pente du miroir est $\tan(\alpha)$, la relation géométrique est : $$ \tan(2\alpha) = -\frac{H}{x} $$ car le rayon incident vertical a une pente infinie (vertical) et la réflexion modifie l'angle par rapport à l'horizontale en fonction de $\alpha$. 7. En isolant $\alpha$, on obtient : $$ \alpha = \frac{1}{2} \arctan\left(-\frac{H}{x}\right) $$ 8. Calcul des cas demandés : - Pour $x=0$, $-\frac{H}{0}$ tend vers moins ou plus l'infini selon le signe de $H$. Si $H>0$, alors $$ \alpha = \frac{1}{2} \arctan(-\infty) = \frac{1}{2} \times (-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ $$ - Pour $x=H$, $$ \alpha = \frac{1}{2} \arctan\left(-\frac{H}{H}\right) = \frac{1}{2} \arctan(-1) = \frac{1}{2} \times (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{8} = -22{,}5^\circ $$ - Pour $x \to \infty$, on a $$ \lim_{x\to\infty} \alpha = \frac{1}{2} \arctan(0) = 0^\circ $$ 9. En résumé : - $x=0 \implies \alpha = -45^\circ$ - $x=H \implies \alpha = -22{,}5^\circ$ - $x=\infty \implies \alpha = 0^\circ$ \textbf{Réponse finale :} $$\boxed{\alpha = \frac{1}{2} \arctan\left(-\frac{H}{x}\right)\quad \text{avec}\quad \alpha(0) = -45^\circ,\; \alpha(H) = -22{,}5^\circ,\; \alpha(\infty) = 0^\circ}$$