1. **Énoncé du problème** : Calculer la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un astronaute de masse $m=130$ kg à une altitude $z$. Calculer son poids à la surface de la Terre. Calculer son poids en orbite à 1000 km de la surface terrestre. 2. **Données** : - Masse de la Terre $M=5{,}98 \times 10^{24}$ kg - Rayon de la Terre $R=6380$ km $=6{,}38 \times 10^{6}$ m - Constante gravitationnelle $G=6{,}67 \times 10^{-11}$ SI 3. **Expression de la force gravitationnelle à une altitude $z$** : La force gravitationnelle est donnée par la loi de Newton : $$F = G \frac{m M}{(R+z)^2}$$ avec $z$ en mètres. 4. **Calcul du poids à la surface de la Terre ($z=0$)** : $$F_0 = G \frac{m M}{R^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{130 \times 5{,}98 \times 10^{24}}{(6{,}38 \times 10^{6})^2}$$ Calculons le dénominateur : $$(6{,}38 \times 10^{6})^2 = 4{,}07 \times 10^{13}$$ Calculons le numérateur : $$6{,}67 \times 10^{-11} \times 130 \times 5{,}98 \times 10^{24} = 5{,}19 \times 10^{17}$$ Donc : $$F_0 = \frac{5{,}19 \times 10^{17}}{4{,}07 \times 10^{13}} = 12750 \text{ N}$$ 5. **Calcul du poids en orbite à 1000 km de la surface** : Altitude $z = 1000$ km $= 1{,}0 \times 10^{6}$ m Distance au centre de la Terre : $$R+z = 6{,}38 \times 10^{6} + 1{,}0 \times 10^{6} = 7{,}38 \times 10^{6} \text{ m}$$ Force gravitationnelle : $$F_z = G \frac{m M}{(R+z)^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{130 \times 5{,}98 \times 10^{24}}{(7{,}38 \times 10^{6})^2}$$ Calcul du dénominateur : $$(7{,}38 \times 10^{6})^2 = 5{,}44 \times 10^{13}$$ Numérateur identique à avant : $5{,}19 \times 10^{17}$ Donc : $$F_z = \frac{5{,}19 \times 10^{17}}{5{,}44 \times 10^{13}} = 9540 \text{ N}$$ 6. **Conclusion** : Le poids diminue avec l'altitude car la force gravitationnelle diminue avec le carré de la distance au centre de la Terre. À 1000 km d'altitude, le poids est environ $9540$ N, soit environ 75% du poids à la surface ($12750$ N).