### Problème : Champ électrostatique d'une distribution à symmétrie sphérique 1. **De quelles variables dépend le champ électrostatique en coordonnées sphériques ?** Le champ électrostatique présente uniquement une composante radiale **$E_r$** qui dépend de la distance radiale $r$ au centre $O$. Comme il y a symmétrie sphérique, il ne dépend pas des angles $\theta$ et $\phi$. Donc le champ dépend uniquement de la variable $r$. 2. **Quelle est sa direction ?** La direction du champ est radiale, suivant le vecteur unitaire $\mathbf{e}_r$ partant du centre O vers l'extérieur. Le champ est donc de la forme $$\mathbf{E}(r)=E_r(r)\mathbf{e}_r$$ 3. **Déterminer l'expression du potentiel $V(r)$ en supposant $V(\infty) = 0$.** Le potentiel est relié au champ électrostatique par $$\mathbf{E} = -\nabla V\Rightarrow E_r = -\frac{dV}{dr}$$ On intègre donc - Pour $0 < r < R$: $$ E_r = \frac{k}{2\varepsilon_0} \Rightarrow -\frac{dV}{dr} = \frac{k}{2\varepsilon_0} \Rightarrow V(r) = -\frac{k}{2\varepsilon_0} r + C_1 $$ - Pour $r > R$: $$ E_r = \frac{kR^2}{2\varepsilon_0 r^2} \Rightarrow -\frac{dV}{dr} = \frac{kR^2}{2\varepsilon_0 r^2} $$ Intégration : $$ V(r) = -\int E_r dr = - \int \frac{kR^2}{2\varepsilon_0 r^2} dr = -\frac{kR^2}{2\varepsilon_0} \int r^{-2} dr = -\frac{kR^2}{2\varepsilon_0} (-\frac{1}{r}) + C_2 = \frac{kR^2}{2\varepsilon_0 r} + C_2 $$ En imposant $V(\infty) = 0$ on obtient $C_2 = 0$. Pour assurer la continuité de $V$ à $r=R$: $$ -\frac{k}{2\varepsilon_0} R + C_1 = \frac{kR^2}{2\varepsilon_0 R} = \frac{kR}{2\varepsilon_0} $$ Donc $$ C_1 = \frac{kR}{2\varepsilon_0} + \frac{k}{2\varepsilon_0} R = \frac{kR}{\varepsilon_0} $$ Au final, $$ V(r) = \begin{cases} -\frac{k}{2\varepsilon_0} r + \frac{k R}{\varepsilon_0} & \text{pour } 0 R \end{cases} $$ 4. **Tracer l'allure du potentiel $V(r)$ en fonction de $r$ :** - Pour $r \to 0^+$, $V(r) \to \frac{kR}{\varepsilon_0} >0$ (car constante positive) - Pour $0 < r < R$, $V(r)$ décroît linéairement. - Pour $r > R$, $V(r)$ décroît comme $1/r$. Le tracé correspond à une fonction continue, décroissante, avec un point anguleux en $r=R$. 5. **Exprésser la densité volumique de charges $\rho(r)$:** La formule donne : $$ \rho = \frac{\varepsilon_0}{r^{2}} \frac{d}{dr} \bigl(r^{2} E_r \bigr) $$ Dans chaque domaine : - Pour $0 < r < R$ $$ r^{2} E_r = r^2 \frac{k}{2\varepsilon_0} = \frac{k}{2\varepsilon_0} r^2 $$ $$ \frac{d}{dr} (r^2 E_r) = \frac{k}{2\varepsilon_0} 2r = \frac{k}{\varepsilon_0} r $$ $$ \rho = \frac{\varepsilon_0}{r^2} \times \frac{k}{\varepsilon_0} r = \frac{k}{r} $$ - Pour $r > R$ $$ r^{2} E_r = r^2 \frac{kR^2}{2\varepsilon_0 r^{2}} = \frac{k R^2}{2\varepsilon_0} $$ $$ \frac{d}{dr} (r^{2} E_r) = 0 $$ $$ \rho = 0 $$ Donc la charge est distribuée uniquement dans la boule de rayon $R$ avec densité volumique $\rho(r) = \frac{k}{r}$. --- **Nombre de questions traitées : 5**