1. **Énoncé du problème :** Écrire l'équation de désintégration de l'Uranium 234 en Thorium 230 et hélium 4, puis répondre aux questions associées. 2. **Équation de désintégration :** $$^{234}_{92}U \rightarrow ^{230}_{90}Th + ^{4}_{2}He$$ Cette équation montre que l'Uranium 234 se désintègre en Thorium 230 et une particule alpha (noyau d'hélium). 3. **Composition du noyau d'hélium $^{4}_{2}He$ :** - Nombre de protons = 2 - Nombre de neutrons = 4 - 2 = 2 4. **Calcul de l'énergie de liaison $E_\gamma(^{4}_{2}He)$ :** L'énergie de liaison est donnée par la différence entre la masse des nucléons séparés et la masse du noyau, multipliée par $c^2$. Masse des nucléons séparés : $$m_p = 1,0073\,u, \quad m_n = 1,0087\,u$$ $$m_{total} = 2 \times m_p + 2 \times m_n = 2 \times 1,0073 + 2 \times 1,0087 = 4,0320\,u$$ Masse du noyau $^{4}_{2}He$ : $$m_{He} = 4,0015\,u$$ Différence de masse : $$\Delta m = m_{total} - m_{He} = 4,0320 - 4,0015 = 0,0305\,u$$ Énergie de liaison : $$E_\gamma = \Delta m \times 931,5 = 0,0305 \times 931,5 = 28,4\,MeV$$ 5. **Calcul de l'énergie de liaison $E_1(^{234}_{92}U)$ et $E_1(^{230}_{90}Th)$ à partir du diagramme énergétique :** D'après le diagramme, les énergies sont : $$E_1(^{234}_{92}U) = 2194744\,keV = 2194,744\,MeV$$ $$E_1(^{230}_{90}Th) = 218009,1\,keV = 2180,091\,MeV$$ 6. **Comparaison de la stabilité :** L'énergie de liaison plus élevée indique une plus grande stabilité. Uranium 234 a une énergie de liaison plus élevée que Thorium 230, donc Uranium 234 est plus stable. 7. **Énergie libérée $E_{lib}$ lors de la désintégration :** $$E_{lib} = E_1(^{234}_{92}U) - [E_1(^{230}_{90}Th) + E_\gamma(^{4}_{2}He)]$$ $$= 2194,744 - (2180,091 + 28,4) = 2194,744 - 2208,491 = -13,747\,MeV$$ La valeur négative indique que l'énergie est libérée (perte d'énergie du système). 8. **Calcul de l'âge de la roche marine :** La loi de décroissance radioactive est : $$N_t = N_0 e^{-\lambda t}$$ Le Thorium 230 est produit par désintégration de l'Uranium 234, donc : $$N_{Th} = N_0 - N_t$$ On a : $$t = \frac{1}{\lambda} \ln \left(1 + \frac{N_{Th}}{N_t}\right)$$ En utilisant la demi-vie $T_{1/2}$ de l'Uranium 234 : $$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$ Données : $$N_t = 8,41 \times 10^8, \quad N_{Th} = 3,4 \times 10^7$$ Calcul : $$\frac{N_{Th}}{N_t} = \frac{3,4 \times 10^7}{8,41 \times 10^8} = 0,0404$$ $$t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln(1 + 0,0404) = \frac{T_{1/2}}{0,693} \times 0,0396 = 0,0571 \times T_{1/2}$$ Si $T_{1/2} = 2,18 \times 10^5$ ans (valeur typique pour Uranium 234), alors : $$t = 0,0571 \times 2,18 \times 10^5 = 12450\,ans$$ **Réponse finale :** - Équation de désintégration : $$^{234}_{92}U \rightarrow ^{230}_{90}Th + ^{4}_{2}He$$ - Composition du noyau d'hélium : 2 protons, 2 neutrons - Énergie de liaison du noyau d'hélium : $$28,4\,MeV$$ - Énergie de liaison Uranium 234 : $$2194,744\,MeV$$ - Énergie de liaison Thorium 230 : $$2180,091\,MeV$$ - Énergie libérée lors de la désintégration : environ $$13,7\,MeV$$ - Âge de la roche marine : environ $$12450\,ans$$