1. **Énoncé du problème :** Nous étudions la propagation des ondes électromagnétiques guidées dans une structure, en particulier les modes TM dans un guide d'onde rectangulaire de dimensions $a$ et $b$. 2. **Formules principales et règles importantes :** - L'équation de propagation pour le champ électrique est donnée par : $$\Delta \vec{E} + \omega^2 \mu \xi \vec{E} = 0$$ - Le champ électrique dépend de $z$ et $t$ par : $$E(x,y,z,t) = E(x,y) e^{-j \beta^z z} e^{-j \omega t}$$ - Les composantes du champ électrique et magnétique dans le mode TM (où $H_z=0$) sont : $$\begin{cases} E_x = -j \frac{k_z}{k_c^2} \frac{\partial E_z}{\partial x} \\ E_y = -j \frac{k_z}{k_c^2} \frac{\partial E_z}{\partial y} \\ H_x = j \frac{\omega \xi}{k_c^2} \frac{\partial E_z}{\partial y} \\ H_y = -j \frac{\omega \xi}{k_c^2} \frac{\partial E_z}{\partial x} \end{cases}$$ - La fonction $E_z$ est donnée par : $$E_z(x,y,z) = E_0 \sin\left(\frac{m \pi}{a} x\right) \sin\left(\frac{n \pi}{b} y\right) e^{-j k_z z}$$ - Le nombre d'onde de coupure est : $$k_c^2 = \left(\frac{m \pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n \pi}{b}\right)^2$$ - La fréquence de coupure est : $$\delta_c = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2}$$ 3. **Calcul complet pour la fréquence de coupure et modes :** - Données : $a=22\,\text{mm} = 22 \times 10^{-3}$ m, $b=10\,\text{mm} = 10 \times 10^{-3}$ m, $c=3 \times 10^8$ m/s. - Pour le mode $(m,n) = (1,1)$ : $$\delta_{c1} = \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{22 \times 10^{-3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{10 \times 10^{-3}}\right)^2}$$ Calculons les termes sous la racine : $$\left(\frac{1}{0.022}\right)^2 = 2066.12, \quad \left(\frac{1}{0.01}\right)^2 = 10000$$ Donc : $$\sqrt{2066.12 + 10000} = \sqrt{12066.12} \approx 109.83$$ Ainsi : $$\delta_{c1} = \frac{3 \times 10^8}{2} \times 109.83 = 1.647 \times 10^{10} \text{Hz} = 16.47 \text{GHz}$$ - Pour le mode $(2,1)$ : $$\delta_{c2} = \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{2}{0.022}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.01}\right)^2}$$ Calculons : $$\left(\frac{2}{0.022}\right)^2 = (90.91)^2 = 8264.46, \quad 10000$$ $$\sqrt{8264.46 + 10000} = \sqrt{18264.46} \approx 135.18$$ Donc : $$\delta_{c2} = \frac{3 \times 10^8}{2} \times 135.18 = 2.0277 \times 10^{10} \text{Hz} = 20.28 \text{GHz}$$ - Pour le mode $(1,2)$ : $$\delta_{c3} = \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.022}\right)^2 + \left(\frac{2}{0.01}\right)^2}$$ Calculons : $$2066.12 + (200)^2 = 2066.12 + 40000 = 42066.12$$ $$\sqrt{42066.12} \approx 205.11$$ Donc : $$\delta_{c3} = \frac{3 \times 10^8}{2} \times 205.11 = 3.0765 \times 10^{10} \text{Hz} = 30.77 \text{GHz}$$ 4. **Interprétation :** - La fréquence de coupure $\delta_c$ est la fréquence minimale pour que le mode $(m,n)$ puisse se propager. - Pour une fréquence donnée $\delta$, seuls les modes avec $\delta_c \leq \delta$ peuvent se propager. 5. **Exemple avec $\delta = 30$ GHz :** - Modes propagatifs sont ceux avec $\delta_c \leq 30$ GHz. - D'après les calculs, les modes $(1,1)$ et $(2,1)$ sont propagatifs, mais $(1,2)$ est juste au-dessus ou proche de la limite. **Résumé final :** - Fréquences de coupure calculées : - $(1,1)$ : 16.47 GHz - $(2,1)$ : 20.28 GHz - $(1,2)$ : 30.77 GHz - Modes propagatifs pour $\delta = 30$ GHz : $(1,1)$ et $(2,1)$.