1. Задача I.004: Дана зависимость пути $S$ от времени $t$ по формуле $$S = A + Bt + Ct^2 + Dt^3,$$ где $C = 0{,}14$ м/с$^2$, $D = 0{,}01$ м/с$^3$. Найти время $t$, когда ускорение тела равно 1 м/с$^2$. Кратко: Найти $t$ при $a = 1$ м/с$^2$. Решение: 1. Ускорение $a$ — вторая производная пути по времени: $$a = \frac{d^2S}{dt^2}.$$ 2. Найдём первую производную: $$\frac{dS}{dt} = B + 2Ct + 3Dt^2.$$ 3. Вторая производная: $$a = \frac{d^2S}{dt^2} = 2C + 6Dt.$$ 4. Подставим $a = 1$, $C = 0{,}14$, $D = 0{,}01$: $$1 = 2 \times 0{,}14 + 6 \times 0{,}01 \times t.$$ 5. Упростим: $$1 = 0{,}28 + 0{,}06t,$$ 6. Выразим $t$: $$t = \frac{1 - 0{,}28}{0{,}06} = \frac{0{,}72}{0{,}06} = 12.$$ Ответ: ускорение будет равно 1 м/с$^2$ через 12 секунд после начала движения. 2. Задача 1.029: Камень брошен горизонтально со скоростью 30 м/с. Найти нормальное ускорение камня в конце второй секунды. Кратко: Найти нормальное ускорение $a_n$ в $t=2$ с. Решение: 1. Горизонтальная скорость постоянна: $v_x = 30$ м/с. 2. Вертикальное движение с ускорением свободного падения $g = 9{,}8$ м/с$^2$. 3. Вертикальная скорость в $t=2$: $$v_y = g t = 9{,}8 \times 2 = 19{,}6 \, \text{м/с}.$$ 4. Модуль скорости: $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{30^2 + 19{,}6^2} = \sqrt{900 + 384{,}16} = \sqrt{1284{,}16} \approx 35{,}84 \, \text{м/с}.$$ 5. Нормальное ускорение: $$a_n = \frac{v^2}{R},$$ где $R$ — радиус кривизны траектории. 6. Радиус кривизны: $$R = \frac{(v_x^2 + v_y^2)^{3/2}}{|v_x a_y - v_y a_x|}.$$ 7. Ускорение по $x$ отсутствует, $a_x=0$, $a_y = g = 9{,}8$. 8. Подставим: $$R = \frac{(900 + 384{,}16)^{3/2}}{|30 \times 9{,}8 - 19{,}6 \times 0|} = \frac{1284{,}16^{3/2}}{294}.$$ 9. Вычислим: $$1284{,}16^{3/2} = 1284{,}16 \times \sqrt{1284{,}16} = 1284{,}16 \times 35{,}84 \approx 46030{,}5.$$ 10. Тогда $$R = \frac{46030{,}5}{294} \approx 156{,}56 \, \text{м}.$$ 11. Нормальное ускорение: $$a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{1284{,}16}{156{,}56} \approx 8{,}2 \, \text{м/с}^2.$$ Ответ: нормальное ускорение в конце второй секунды примерно 8,2 м/с$^2$. 3. Задача I.054: Шарик массой $m=0{,}2$ кг ударяется о стенку со скоростью 10 м/с и отскакивает с той же скоростью. Угол удара $\\alpha=30^\circ$. Найти импульс силы, полученный стенкой. Кратко: Найти импульс силы $\Delta p$. Решение: 1. Скорость до удара: $$\vec{v}_1 = 10 \, \text{м/с}.$$ 2. Скорость после удара: $$\vec{v}_2 = -10 \, \text{м/с}$$ по нормали к стенке (обратное направление). 3. Импульс силы равен изменению импульса по нормали к стенке. 4. Проекция скорости на нормаль: $$v_{1n} = 10 \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8{,}66 \, \text{м/с}.$$ 5. Изменение скорости по нормали: $$\Delta v_n = v_{2n} - v_{1n} = -8{,}66 - 8{,}66 = -17{,}32 \, \text{м/с}.$$ 6. Импульс силы: $$\Delta p = m \times |\Delta v_n| = 0{,}2 \times 17{,}32 = 3{,}464 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}.$$ Ответ: импульс силы, полученный стенкой, равен примерно 3,46 кг·м/с.