1. Задача I.004: Дана зависимость пути тела от времени $$S = A + Bt + Ct^2 + Dt^3$$, где $$C = 0{,}14$$ м/с², $$D = 0{,}01$$ м/с³. Найти время, когда ускорение тела $$a = 1$$ м/с². Кратко: Найти $$t$$ при $$a = 1$$ м/с². Решение: 1. Ускорение $$a(t)$$ — вторая производная пути по времени: $$a(t) = \frac{d^2S}{dt^2} = 2C + 6Dt$$. 2. Подставляем данные: $$1 = 2 \times 0{,}14 + 6 \times 0{,}01 \times t$$. 3. Решаем уравнение: $$1 = 0{,}28 + 0{,}06t \Rightarrow 0{,}06t = 0{,}72 \Rightarrow t = \frac{0{,}72}{0{,}06} = 12$$ с. Ответ: Через 12 секунд ускорение будет равно 1 м/с². 2. Задача 1.029: Камень брошен горизонтально со скоростью 30 м/с. Найти нормальное ускорение в конце второй секунды. Кратко: Найти нормальное ускорение $$a_n$$ в $$t=2$$ с. Решение: 1. Горизонтальная скорость постоянна: $$v_x = 30$$ м/с. 2. Вертикальное ускорение свободного падения $$g = 9{,}8$$ м/с². 3. Вертикальная скорость в $$t=2$$ с: $$v_y = g t = 9{,}8 \times 2 = 19{,}6$$ м/с. 4. Модуль скорости: $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{30^2 + 19{,}6^2} = \sqrt{900 + 384{,}16} = \sqrt{1284{,}16} \approx 35{,}84$$ м/с. 5. Нормальное ускорение: $$a_n = \frac{v^2}{R}$$, где $$R$$ — радиус кривизны траектории. 6. Радиус кривизны: $$R = \frac{v^3}{|v_x a_y - v_y a_x|}$$, где $$a_x=0$$, $$a_y = g$$. 7. Вычисляем: $$|v_x a_y - v_y a_x| = |30 \times 9{,}8 - 19{,}6 \times 0| = 294$$. 8. Тогда $$R = \frac{35{,}84^3}{294} = \frac{46000}{294} \approx 156{,}46$$ м. 9. Нормальное ускорение: $$a_n = \frac{35{,}84^2}{156{,}46} = \frac{1284{,}16}{156{,}46} \approx 8{,}21$$ м/с². Ответ: Нормальное ускорение в конце второй секунды примерно 8,21 м/с². 3. Задача I.054: Шарик массой $$m=0{,}2$$ кг ударяется о стенку со скоростью 10 м/с под углом $$\alpha=30^\circ$$ и отскакивает с той же скоростью. Найти импульс силы, полученный стенкой. Кратко: Найти импульс силы при ударе. Решение: 1. Скорость до удара: $$v = 10$$ м/с, угол $$\alpha=30^\circ$$. 2. Компоненты скорости: $$v_\perp = v \cos \alpha = 10 \times \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8{,}66$$ м/с (перпендикулярно стенке), $$v_\parallel = v \sin \alpha = 10 \times \frac{1}{2} = 5$$ м/с (параллельно стенке). 3. При ударе параллельная компонента не меняется, перпендикулярная меняет знак. 4. Изменение импульса по перпендикулярной оси: $$\Delta p = m (v_\perp - (-v_\perp)) = 2 m v_\perp = 2 \times 0{,}2 \times 8{,}66 = 3{,}464$$ кг·м/с. Ответ: Импульс силы, полученный стенкой, равен примерно 3,46 кг·м/с. 4. Задача I.079: Снаряд летит горизонтально со скоростью 100 м/с, разрывается на две равные части на высоте 40 м. Одна часть падает через 1 с под местом взрыва. Найти угол полета второй части к горизонту. Кратко: Найти угол $$\theta$$ полета второй части. Решение: 1. Время падения первой части $$t_1 = 1$$ с. 2. Высота $$h = 40$$ м. 3. Вертикальная скорость первой части при взрыве: $$v_{y1} = 0$$ (падение свободное). 4. Проверяем время падения свободного тела: $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 40}{9{,}8}} = \sqrt{8{,}16} = 2{,}86$$ с, но падает за 1 с, значит у первой части есть вертикальная скорость вниз. 5. Вертикальная скорость первой части: $$h = v_{y1} t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 \Rightarrow 40 = v_{y1} \times 1 + 4{,}9 \Rightarrow v_{y1} = 35{,}1$$ м/с вниз. 6. Импульс сохраняется, горизонтальная скорость снаряда до взрыва $$v_x = 100$$ м/с. 7. Массы равны, импульс по вертикали равен нулю до взрыва, значит вторая часть имеет вертикальную скорость $$v_{y2} = -v_{y1} = -35{,}1$$ м/с (вверх). 8. Горизонтальная скорость второй части равна $$v_x = 100$$ м/с. 9. Угол к горизонту: $$\theta = \arctan \left( \frac{|v_{y2}|}{v_x} \right) = \arctan \left( \frac{35{,}1}{100} \right) \approx 19{,}3^\circ$$. Ответ: Вторая часть летит под углом примерно 19,3° к горизонту вверх. 5. Задача I.104: Гиря сжимает пружину на 2 мм при покое. Найти сжатие пружины при падении гири с высоты 10 см. Кратко: Найти новое сжатие $$x$$. Решение: 1. При покое сила тяжести равна силе упругости: $$mg = k x_0$$, где $$x_0 = 2$$ мм = 0,002 м. 2. При падении энергия: $$E = mg h$$, где $$h = 0{,}1$$ м. 3. Полная энергия сжатия: $$E_{total} = mg (x + h) = \frac{1}{2} k x^2$$. 4. Из первого уравнения: $$k = \frac{mg}{x_0}$$. 5. Подставляем в энергию: $$mg (x + h) = \frac{1}{2} \frac{mg}{x_0} x^2 \Rightarrow 2 x_0 (x + h) = x^2$$. 6. Подставляем числа: $$2 \times 0{,}002 (x + 0{,}1) = x^2 \Rightarrow 0{,}004 x + 0{,}0004 = x^2$$. 7. Переносим в стандартный вид: $$x^2 - 0{,}004 x - 0{,}0004 = 0$$. 8. Решаем квадратное уравнение: $$x = \frac{0{,}004 \pm \sqrt{(0{,}004)^2 + 4 \times 0{,}0004}}{2} = \frac{0{,}004 \pm \sqrt{0{,}000016 + 0{,}0016}}{2} = \frac{0{,}004 \pm 0{,}0402}{2}$$. 9. Положительный корень: $$x = \frac{0{,}004 + 0{,}0402}{2} = 0{,}0221$$ м = 2,21 см. Ответ: Пружина сожмется примерно на 2,21 см. 6. Задача I.129: Ядро распадается на два осколка с массами $$m_1 = 0{,}8 \times 10^{-25}$$ кг и $$m_2 = 1{,}2 \times 10^{-25}$$ кг. Энергия первого осколка $$E_1 = 18$$ МэВ. Найти энергию второго осколка $$E_2$$. Кратко: Найти $$E_2$$. Решение: 1. Закон сохранения импульса: $$m_1 v_1 = m_2 v_2$$. 2. Кинетическая энергия: $$E = \frac{1}{2} m v^2$$. 3. Выразим $$v_2$$ через $$v_1$$: $$v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1$$. 4. Отношение энергий: $$\frac{E_2}{E_1} = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_1^2} = \frac{m_2}{m_1} \left( \frac{m_1}{m_2} \right)^2 = \frac{m_1}{m_2}$$. 5. Подставляем массы: $$\frac{E_2}{18} = \frac{0{,}8}{1{,}2} = \frac{2}{3}$$. 6. Тогда $$E_2 = 18 \times \frac{2}{3} = 12$$ МэВ. Ответ: Кинетическая энергия второго осколка равна 12 МэВ. 7. Задача L.154: Маховик с моментом инерции $$J=63{,}6$$ кг·м² вращается с угловой скоростью $$\omega=31{,}4$$ рад/с. Найти тормозящий момент $$M$$, если маховик останавливается за $$t=10$$ с. Кратко: Найти $$M$$. Решение: 1. Угловое ускорение: $$\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{0 - 31{,}4}{10} = -3{,}14$$ рад/с². 2. Момент силы: $$M = J \alpha = 63{,}6 \times (-3{,}14) = -199{,}7$$ Н·м. 3. По модулю: $$M = 199{,}7$$ Н·м. Ответ: Тормозящий момент равен примерно 199,7 Н·м. 8. Задача 1.179: Во сколько раз момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через образующую, больше момента инерции относительно оси цилиндра? Кратко: Найти отношение моментов инерции. Решение: 1. Момент инерции цилиндра относительно оси симметрии: $$J_z = \frac{1}{2} m R^2$$. 2. Момент инерции относительно оси, проходящей через образующую (параллельная ось): $$J_{side} = J_z + m R^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$$. 3. Отношение: $$\frac{J_{side}}{J_z} = \frac{\frac{3}{2} m R^2}{\frac{1}{2} m R^2} = 3$$. Ответ: В 3 раза. 9. Задача 1.204: Человек с моментом инерции $$J=6$$ кг·м² держит стержень длиной $$\ell=2{,}4$$ м и массой $$m=8$$ кг за середину. Скамья вращается с частотой $$\nu_1=2$$ 1/с. Найти новую частоту $$\nu_2$$, если стержень повернуть горизонтально. Кратко: Найти $$\nu_2$$. Решение: 1. Момент инерции стержня относительно оси вращения при вертикальном положении: $$J_{rod1} = \frac{1}{12} m \ell^2 = \frac{1}{12} \times 8 \times 2{,}4^2 = \frac{8}{12} \times 5{,}76 = 3{,}84$$ кг·м². 2. При горизонтальном положении (вращение вокруг конца): $$J_{rod2} = J_{rod1} + m \left( \frac{\ell}{2} \right)^2 = 3{,}84 + 8 \times 1{,}2^2 = 3{,}84 + 11{,}52 = 15{,}36$$ кг·м². 3. Суммарный момент инерции: $$J_1 = 6 + 3{,}84 = 9{,}84$$ кг·м², $$J_2 = 6 + 15{,}36 = 21{,}36$$ кг·м². 4. Закон сохранения момента импульса: $$J_1 \omega_1 = J_2 \omega_2$$. 5. Частоты связаны с угловой скоростью: $$\omega = 2 \pi \nu$$. 6. Тогда: $$J_1 \nu_1 = J_2 \nu_2 \Rightarrow \nu_2 = \frac{J_1}{J_2} \nu_1 = \frac{9{,}84}{21{,}36} \times 2 = 0{,}92$$ 1/с. Ответ: Новая частота вращения $$\nu_2 \approx 0{,}92$$ 1/с. 10. Задача 1.229: Маховик с моментом инерции $$J=90$$ кг·м² начинает вращаться из покоя под действием момента силы $$M=30$$ Н·м в течение $$t=15$$ с. Найти кинетическую энергию маховика. Кратко: Найти кинетическую энергию $$E_k$$. Решение: 1. Угловое ускорение: $$\alpha = \frac{M}{J} = \frac{30}{90} = 0{,}333$$ рад/с². 2. Угловая скорость через $$t$$: $$\omega = \alpha t = 0{,}333 \times 15 = 5$$ рад/с. 3. Кинетическая энергия: $$E_k = \frac{1}{2} J \omega^2 = \frac{1}{2} \times 90 \times 5^2 = 45 \times 25 = 1125$$ Дж. Ответ: Кинетическая энергия маховика равна 1125 Дж.