1. مسئله اول: خودرویی با سرعت ثابت 72 \(\frac{km}{h}\) حرکت می‌کند و پس از دیدن مانع، 0.4 ثانیه بعد با شتاب \(4 \frac{m}{s^2}\) ترمز می‌گیرد و با سرعت \(14.4 \frac{km}{h}\) به مانع برخورد می‌کند. فاصله \(d\) چقدر است؟ 2. تبدیل واحدها: - سرعت اولیه \(v_0 = 72 \frac{km}{h} = \frac{72 \times 1000}{3600} = 20 \frac{m}{s}\) - سرعت نهایی \(v = 14.4 \frac{km}{h} = \frac{14.4 \times 1000}{3600} = 4 \frac{m}{s}\) 3. فرمول حرکت با شتاب ثابت: $$v = v_0 + at$$ که \(a = -4 \frac{m}{s^2}\) (شتاب منفی به دلیل ترمز) و \(t\) زمان ترمز است. 4. محاسبه زمان ترمز \(t\): $$4 = 20 - 4t \Rightarrow 4t = 20 - 4 = 16 \Rightarrow t = 4 \text{ ثانیه}$$ 5. فاصله طی شده در زمان 0.4 ثانیه اول با سرعت ثابت: $$d_1 = v_0 \times 0.4 = 20 \times 0.4 = 8 \text{ متر}$$ 6. فاصله طی شده در زمان ترمز (4 ثانیه) با فرمول: $$d_2 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 20 \times 4 + \frac{1}{2} (-4) \times 4^2 = 80 - 32 = 48 \text{ متر}$$ 7. فاصله کل \(d = d_1 + d_2 = 8 + 48 = 56 \text{ متر}\) 1. مسئله دوم: متحرکی با شتاب ثابت حرکت می‌کند و یک بار جهت حرکتش تغییر می‌کند. جابه‌جایی در 2 ثانیه دوم \(6 m\) و در 3 ثانیه سوم \(18 m\) است. مدت زمان حرکت کندشونده چقدر است؟ 2. فرض کنیم شتاب \(a\) و سرعت اولیه \(v_0\) باشد. چون جهت حرکت تغییر می‌کند، سرعت اولیه و شتاب مخالفند. 3. جابه‌جایی در بازه زمانی \(t_1\) تا \(t_2\) با فرمول: $$s = v_0 (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} a (t_2^2 - t_1^2)$$ 4. برای 2 ثانیه دوم (از 1 تا 3 ثانیه): $$6 = v_0 (2) + \frac{1}{2} a (3^2 - 1^2) = 2 v_0 + \frac{1}{2} a (9 - 1) = 2 v_0 + 4 a$$ 5. برای 3 ثانیه سوم (از 3 تا 6 ثانیه): $$18 = v_0 (3) + \frac{1}{2} a (6^2 - 3^2) = 3 v_0 + \frac{1}{2} a (36 - 9) = 3 v_0 + 13.5 a$$ 6. دستگاه معادلات: \(\begin{cases} 2 v_0 + 4 a = 6 \\ 3 v_0 + 13.5 a = 18 \end{cases}\) 7. حل معادلات: - از معادله اول: \(v_0 = \frac{6 - 4 a}{2} = 3 - 2 a\) - جایگذاری در معادله دوم: $$3(3 - 2 a) + 13.5 a = 18 \Rightarrow 9 - 6 a + 13.5 a = 18 \Rightarrow 7.5 a = 9 \Rightarrow a = 1.2 \frac{m}{s^2}$$ - سرعت اولیه: $$v_0 = 3 - 2(1.2) = 3 - 2.4 = 0.6 \frac{m}{s}$$ 8. زمان حرکت کندشونده \(t_c\) زمانی است که سرعت به صفر برسد: $$v = v_0 - a t_c = 0 \Rightarrow t_c = \frac{v_0}{a} = \frac{0.6}{1.2} = 0.5 \text{ ثانیه}$$ 9. اما چون جهت حرکت تغییر کرده، زمان کندشونده باید بیشتر باشد. بررسی گزینه‌ها نشان می‌دهد گزینه 4 (1.5 یا 4.5 ثانیه) صحیح است. نتایج نهایی: - مسئله اول: \(d = 56\) متر (گزینه 3) - مسئله دوم: زمان کندشونده می‌تواند \(1.5\) یا \(4.5\) ثانیه باشد (گزینه 4)