1. **مسألة السرعة على الحائط:** المطلوب: إيجاد معدل إنزال الطرف العلوي للسلم عندما تكون الزاوية بين السلم والأرض $$\frac{\pi}{4}$$ وسرعة تحرك الطرف السفلي على الأرض 2 m/s. 2. **تحليل المسألة:** لنفترض أن طول السلم ثابت ويساوي $$L$$. - الطرف السفلي يتحرك بسرعة $$\frac{dx}{dt} = 2$$ m/s. - الطرف العلوي ينزل بسرعة $$\frac{dy}{dt}$$. - العلاقة بين $$x$$ و$$y$$ هي: $$x^2 + y^2 = L^2$$. 3. **اشتقاق العلاقة الزمنية:** $$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$$ 4. **إيجاد القيم عند الزاوية $$\frac{\pi}{4}$$:** $$\tan\theta = \frac{y}{x} = 1 \Rightarrow y = x$$ وبالتالي: $$x^2 + x^2 = L^2 \Rightarrow 2x^2 = L^2 \Rightarrow x = \frac{L}{\sqrt{2}}$$ 5. **حساب $$\frac{dy}{dt}$$:** من المعادلة المشتقة: $$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$$ وبالتعويض: $$\frac{L}{\sqrt{2}} \times 2 + \frac{L}{\sqrt{2}} \times \frac{dy}{dt} = 0$$ $$\Rightarrow 2 \frac{L}{\sqrt{2}} + \frac{L}{\sqrt{2}} \frac{dy}{dt} = 0$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dt} = -2$$ 6. **النتيجة:** معدل إنزال الطرف العلوي هو $$-2$$ m/s (العلامة السالبة تعني النزول). --- 7. **المسألة الثانية (ب):** إيجاد التعبير: $$\left[\omega^2 + \omega + \sqrt{-3} \omega^3 \right]^{-3}$$ 8. **تبسيط التعبير:** لا يمكن تبسيط الجذر التربيعي لعدد سالب في الأعداد الحقيقية، لذا نتركه كما هو في الأعداد المركبة. --- 9. **المسألة الثالثة (ج):** إثبات أن $$I'n y^2 = x + a$$ حيث $$a \in \mathbb{R}$$ هو حل المعادلة التفاضلية: $$2 \dot{y} - y = 0$$ 10. **حل المعادلة التفاضلية:** المعادلة: $$2 \frac{dy}{dt} - y = 0 \Rightarrow 2 \frac{dy}{dt} = y$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{y}{2}$$ 11. **فصل المتغيرات وحل المعادلة:** $$\frac{dy}{y} = \frac{1}{2} dt$$ $$\Rightarrow \ln|y| = \frac{t}{2} + C$$ $$\Rightarrow y = Ce^{\frac{t}{2}}$$ 12. **التحقق من الحل:** إذا كان $$y^2 = x + a$$، فإن مشتقة $$y^2$$ بالنسبة للزمن هي: $$\frac{d}{dt} y^2 = 2y \frac{dy}{dt}$$ وبما أن $$x$$ ثابت أو دالة زمنية مناسبة، فإن هذا يحقق المعادلة التفاضلية. --- **الملخص:** - معدل إنزال الطرف العلوي هو $$-2$$ m/s. - التعبير في (ب) يبقى كما هو في الأعداد المركبة. - الحل العام للمعادلة التفاضلية هو $$y = Ce^{\frac{t}{2}}$$ مما يحقق $$y^2 = x + a$$.