1. **Énoncé du problème** : Nous avons l'équation aux dérivées partielles (EDP) suivante : $$-u_{xx}(x,y) - u_{yy}(x,y) = f(x), \quad x \in (0, \pi), y > 0,$$ avec les conditions aux limites : $$u(0,y) = u(\pi,y) = 0, \quad u(x,0) = 0, \quad u(x,+\infty) \text{ bornée},$$ et la condition supplémentaire : $$u(x,1) = g(x).$$ On cherche à déterminer la source $f(x)$ à partir de la donnée $g(x)$ et à trouver $u(x,y)$ par la méthode de séparation des variables. 2. **Méthode de séparation des variables** : On pose $u(x,y) = X(x)Y(y)$. L'équation devient : $$-X''(x)Y(y) - X(x)Y''(y) = f(x).$$ Pour séparer les variables, on suppose que $f(x)$ peut s'écrire en série de fonctions propres de $X(x)$. 3. **Étude de la partie en $x$** : Les conditions aux limites en $x$ sont : $$X(0) = X(\pi) = 0.$$ L'équation homogène associée est : $$-X''(x) = \lambda X(x).$$ Les solutions propres sont : $$X_n(x) = \sin(nx), \quad \lambda_n = n^2, \quad n=1,2,3,\ldots$$ 4. **Développement de $f(x)$ et $u(x,y)$** : On écrit : $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n \sin(nx), \quad u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty u_n(y) \sin(nx).$$ 5. **Substitution dans l'EDP** : On remplace dans l'équation : $$-u_{xx} - u_{yy} = f(x) \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \left(n^2 u_n(y) - u_n''(y)\right) \sin(nx) = \sum_{n=1}^\infty f_n \sin(nx).$$ Par unicité des séries de Fourier, on obtient pour chaque $n$ : $$-u_n''(y) + n^2 u_n(y) = f_n.$$ 6. **Résolution de l'équation différentielle en $y$** : C'est une équation différentielle ordinaire (EDO) non homogène : $$-u_n''(y) + n^2 u_n(y) = f_n.$$ On réécrit : $$u_n''(y) - n^2 u_n(y) = -f_n.$$ 7. **Solution générale** : La solution générale est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière : - Homogène : $$u_{n,h}(y) = A_n e^{ny} + B_n e^{-ny}.$$ - Particulière (constante) : $$u_{n,p}(y) = \frac{f_n}{n^2}.$$ Donc : $$u_n(y) = A_n e^{ny} + B_n e^{-ny} + \frac{f_n}{n^2}.$$ 8. **Conditions aux limites en $y$** : - $u(x,0) = 0$ implique : $$u_n(0) = A_n + B_n + \frac{f_n}{n^2} = 0 \Rightarrow B_n = -A_n - \frac{f_n}{n^2}.$$ - $u(x,+\infty)$ bornée implique que $A_n = 0$ car $e^{ny}$ diverge. 9. **Simplification** : On a donc : $$u_n(y) = B_n e^{-ny} + \frac{f_n}{n^2}, \quad B_n = - \frac{f_n}{n^2}.$$ Donc : $$u_n(y) = \frac{f_n}{n^2} (1 - e^{-ny}).$$ 10. **Condition supplémentaire $u(x,1) = g(x)$** : On écrit : $$g(x) = u(x,1) = \sum_{n=1}^\infty u_n(1) \sin(nx) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f_n}{n^2} (1 - e^{-n}) \sin(nx).$$ On décompose $g(x)$ en série de Fourier : $$g(x) = \sum_{n=1}^\infty g_n \sin(nx).$$ 11. **Relation entre $f_n$ et $g_n$** : On identifie les coefficients : $$g_n = \frac{f_n}{n^2} (1 - e^{-n}) \Rightarrow f_n = \frac{n^2 g_n}{1 - e^{-n}}.$$ 12. **Solution finale** : $$u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 g_n}{1 - e^{-n}} \frac{1 - e^{-ny}}{n^2} \sin(nx) = \sum_{n=1}^\infty \frac{g_n}{1 - e^{-n}} (1 - e^{-ny}) \sin(nx).$$ **Résumé** : - On décompose $g(x)$ en série de Fourier pour obtenir $g_n$. - On calcule $f_n$ par $f_n = \frac{n^2 g_n}{1 - e^{-n}}$. - La solution $u(x,y)$ est donnée par la série ci-dessus. Cette méthode permet de déterminer la source $f(x)$ à partir de la donnée $g(x)$ et de trouver la solution $u(x,y)$ par séparation des variables.