1. **بیان مسئله:** حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی لاپلاس در مختصات استوانه‌ای برای تابع دما $T(r,\theta,z)$ که معادله آن به صورت زیر است: $$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 T}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = 0$$ با توجه به طول بلند استوانه، فرض می‌کنیم: $$\frac{\partial T}{\partial z} = 0$$ پس معادله به شکل دو بعدی در $r$ و $\theta$ تبدیل می‌شود: $$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 T}{\partial \theta^2} = 0$$ 2. **روش حل:** از روش جداسازی متغیرها استفاده می‌کنیم و فرض می‌کنیم: $$T(r,\theta) = R(r) \Theta(\theta)$$ 3. **جایگذاری در معادله:** $$R''(r) \Theta(\theta) + \frac{1}{r} R'(r) \Theta(\theta) + \frac{1}{r^2} R(r) \Theta''(\theta) = 0$$ تقسیم بر $R(r) \Theta(\theta)$: $$\frac{R''(r)}{R(r)} + \frac{1}{r} \frac{R'(r)}{R(r)} + \frac{1}{r^2} \frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = 0$$ 4. **جداسازی متغیرها:** هر جمله فقط به یک متغیر وابسته است، پس: $$r^2 \left( \frac{R''(r)}{R(r)} + \frac{1}{r} \frac{R'(r)}{R(r)} \right) = - \frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = m^2$$ که $m^2$ یک مقدار جداکننده است. 5. **معادله برای $\Theta(\theta)$:** $$\Theta''(\theta) + m^2 \Theta(\theta) = 0$$ حل کلی: $$\Theta(\theta) = A_m \cos(m \theta) + B_m \sin(m \theta)$$ 6. **معادله برای $R(r)$:** $$r^2 R''(r) + r R'(r) - m^2 R(r) = 0$$ این معادله بیسل است و حل کلی آن: $$R(r) = C_m r^m + D_m r^{-m}$$ 7. **شرایط مرزی:** - برای جلوگیری از بی‌نهایت شدن در $r=0$، اگر دامنه شامل $r=0$ باشد، باید $D_m=0$ باشد. - شرایط مرزی روی سطح استوانه $r=r_0$ داده می‌شود (مثلاً دما مشخص یا جریان حرارتی مشخص). 8. **حل نهایی:** $$T(r,\theta) = A_0 + \sum_{m=1}^\infty r^m (A_m \cos(m \theta) + B_m \sin(m \theta))$$ که ضرایب $A_m$ و $B_m$ با توجه به شرایط مرزی تعیین می‌شوند. **خلاصه:** معادله لاپلاس در مختصات استوانه‌ای با فرض استقلال از $z$ به معادلات بیسل و معادله هارمونیک در $\theta$ تبدیل می‌شود و با جداسازی متغیرها و اعمال شرایط مرزی حل می‌شود.