1. مسئله: حل معادله دیفرانسیل جزئی $$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x^2 + 5x$$ با روش جداسازی متغیرها. 2. روش جداسازی متغیرها: فرض می‌کنیم $$u(x,t) = X(x)T(t)$$. 3. جایگذاری در معادله: $$\frac{\partial u}{\partial t} = X(x) \frac{dT}{dt}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = T(t) \frac{d^2 X}{dx^2}$$ معادله به شکل: $$X(x) \frac{dT}{dt} = \alpha T(t) \frac{d^2 X}{dx^2} + x^2 + 5x$$ 4. چون سمت راست شامل جملات وابسته به $$x$$ و $$t$$ است، جداسازی متغیرها به صورت مستقیم ممکن نیست. بنابراین ابتدا معادله را به صورت همگن و ناهمگن بررسی می‌کنیم. 5. معادله ناهمگن است به دلیل وجود $$x^2 + 5x$$ که تابعی از $$x$$ است. برای حل، ابتدا معادله همگن: $$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ را با جداسازی متغیرها حل می‌کنیم. 6. فرض می‌کنیم $$u(x,t) = X(x)T(t)$$، جایگذاری می‌کنیم: $$X(x) \frac{dT}{dt} = \alpha T(t) \frac{d^2 X}{dx^2}$$ تقسیم بر $$X(x)T(t)$$: $$\frac{1}{T} \frac{dT}{dt} = \alpha \frac{1}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} = -\lambda$$ که $$\lambda$$ ثابت جداسازی است. 7. معادلات جداگانه: - برای $$T(t)$$: $$\frac{dT}{dt} + \lambda T = 0 \Rightarrow T(t) = Ce^{-\lambda t}$$ - برای $$X(x)$$: $$\frac{d^2 X}{dx^2} + \frac{\lambda}{\alpha} X = 0$$ 8. حل معادله ناهمگن: برای جملات $$x^2 + 5x$$ یک جواب خاص $$u_p(x)$$ پیدا می‌کنیم. فرض می‌کنیم: $$u_p(x) = Ax^2 + Bx + C$$ 9. مشتقات: $$\frac{\partial u_p}{\partial t} = 0$$ $$\frac{\partial^2 u_p}{\partial x^2} = 2A$$ 10. جایگذاری در معادله اصلی: $$0 = \alpha \cdot 2A + x^2 + 5x$$ 11. برای برابری دو طرف، ضرایب جملات $$x^2$$ و $$x$$ باید صفر شوند، اما در سمت چپ فقط عدد ثابت داریم. پس فرض جواب خاص باید تغییر کند. چون سمت راست شامل $$x^2 + 5x$$ است، جواب خاص باید شامل جملات درجه 4 و 3 باشد. فرض می‌کنیم: $$u_p(x) = a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e$$ 12. مشتقات: $$\frac{\partial^2 u_p}{\partial x^2} = 12 a x^2 + 6 b x + 2 c$$ 13. جایگذاری در معادله ناهمگن: $$0 = \alpha (12 a x^2 + 6 b x + 2 c) + x^2 + 5 x$$ 14. برابر قرار دادن ضرایب: - برای $$x^2$$: $$0 = 12 \alpha a + 1 \Rightarrow a = -\frac{1}{12 \alpha}$$ - برای $$x$$: $$0 = 6 \alpha b + 5 \Rightarrow b = -\frac{5}{6 \alpha}$$ - برای جمله ثابت: $$0 = 2 \alpha c \Rightarrow c = 0$$ 15. جواب خاص: $$u_p(x) = -\frac{1}{12 \alpha} x^4 - \frac{5}{6 \alpha} x^3 + d x + e$$ 16. جواب کلی: $$u(x,t) = \sum_n C_n e^{-\lambda_n t} X_n(x) + u_p(x)$$ 17. برای پایداری: اگر $$\lambda_n > 0$$، جملات همگن با $$e^{-\lambda_n t}$$ به صفر میل می‌کنند و سیستم پایدار است. اگر $$\lambda_n \leq 0$$، سیستم ناپایدار است. 18. در معادله همگن، $$\lambda$$ مثبت است (از شرایط مرزی و مسائل ویژه)، پس معادله پایدار است. نتیجه: معادله با جداسازی متغیرها حل شد و جواب کلی شامل جواب همگن و جواب خاص است. پایداری معادله با علامت $$\lambda$$ مشخص می‌شود که در اینجا مثبت است و معادله پایدار است.