1. Muammo: Berilgan tenglama $$\partial^{\beta}_{t}u +(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial x^n} \left( x^\alpha \frac{\partial^n u}{\partial x^n} \right) = f(x,t),$$ \n\nbu yerda $\beta \in (1,2)$, $0 \leq \alpha < 2k$, $n=0,k$, sohada $\Omega_T = \{0 < x < 1, 0 < t \leq T < \infty\}$. \n\nBoshlang'ich shartlar: $$u(x,0) = \varphi(x), \quad u_t(x,0) = \psi(x),$$ \nChegara shartlari: $$\frac{\partial^\mu u(0,t)}{\partial x^\mu} = 0, \quad \mu = 0, \ldots, k-\left[\frac{\alpha+1}{2}\right]-1,$$ $$\frac{\partial^\mu u(1,t)}{\partial x^\mu} = 0, \quad \mu = 0, \ldots, k-1.$$\n\n2. Maqsad: Ushbu tenglama uchun Green funksiyasini qurish mumkinligini va chegara shartlarining to'g'riligini tekshirish.\n\n3. Asosiy tushunchalar: \n- Fractional vaqt differensial operatori $\partial^{\beta}_t$ Caputo yoki Riemann-Liouville turida bo'lishi mumkin, bu $\beta \in (1,2)$ uchun vaqt bo'yicha yarim differensial operator hisoblanadi.\n- $x^\alpha$ bilan ko'paytirilgan yuqori tartibli hosila operatori $\frac{\partial^n}{\partial x^n} \left( x^\alpha \frac{\partial^n u}{\partial x^n} \right)$ elliptik operatorning umumiy ko'rinishidir.\n- Chegara shartlari $\mu$ indekslari orqali berilgan va ular $\alpha$ ning qiymatiga bog'liq.\n\n4. Green funksiyasini qurish uchun quyidagilar kerak:\n- Operatorning o'ziga xos xususiyatlari: elliptiklik, o'zaro simmetriya, va chegara shartlariga moslik.\n- Chegara shartlari operatorning domenini to'g'ri belgilashi kerak.\n- $f(x) \in L_2(0,1)$ bo'lsa, operatorning inversi mavjud bo'lib, Green funksiyasi orqali ifodalanadi.\n\n5. Chegara shartlarining to'g'riligi:\n- Agar $\alpha < 1$ bo'lsa, $x=0$ da odatiy chegara shartlari qo'yiladi, ya'ni $\frac{\partial^\mu u(0,t)}{\partial x^\mu} = 0$; bu operatorning domenini to'g'ri belgilaydi va Green funksiyasini qurishga imkon beradi.\n- Agar $2k-1 \leq \alpha < 2k$ bo'lsa, $x=0$ da hech qanday shart qo'yilmaydi, bu esa operatorning noaniqligiga olib kelishi mumkin va Green funksiyasini qurish qiyinlashadi yoki imkonsiz bo'lishi mumkin.\n\n6. Xulosa:\n- Berilgan chegara shartlari $\alpha$ ning qiymatiga qarab to'g'ri qo'yilgan.\n- $\alpha < 1$ holatda Green funksiyasini qurish mumkin, chunki operator elliptik va chegara shartlari to'g'ri belgilangan.\n- $2k-1 \leq \alpha < 2k$ holatda esa chegara shartlari yo'qligi sababli Green funksiyasini qurish qiyin yoki mumkin emas.\n\nShunday qilib, berilgan shartlar va parametrlar asosida Green funksiyasini qurish mumkinligi va chegara shartlarining to'g'riligi $\alpha$ ning qiymatiga bog'liq.\n