1. **Menyatakan masalah:** Kita akan menyelesaikan tiga persamaan diferensial biasa (ODE) berikut: 1) $g x \, dx + 4 y \, dy = 0$ 2) $e^x (\cos y \, dx - \sin y \, dy) = 0$ 3) $-3 y \, dy + 2 x \, dy = 0$ 2. **Langkah umum menyelesaikan ODE:** - Kita akan mencoba menulis ulang persamaan dalam bentuk yang memudahkan integrasi. - Jika memungkinkan, kita akan memisahkan variabel atau menggunakan metode substitusi. 3. **Penyelesaian soal 1:** Persamaan: $g x \, dx + 4 y \, dy = 0$ Asumsikan $g$ adalah konstanta. Langkah: - Pisahkan variabel: $$g x \, dx = -4 y \, dy$$ - Integrasi kedua sisi: $$\int g x \, dx = - \int 4 y \, dy$$ $$\frac{g x^2}{2} = -2 y^2 + C$$ - Bentuk solusi implisit: $$\frac{g}{2} x^2 + 2 y^2 = C$$ 4. **Penyelesaian soal 2:** Persamaan: $e^x (\cos y \, dx - \sin y \, dy) = 0$ Langkah: - Karena $e^x \neq 0$, kita dapat tulis ulang: $$\cos y \, dx - \sin y \, dy = 0$$ - Pisahkan variabel: $$\cos y \, dx = \sin y \, dy$$ $$\frac{dx}{dy} = \frac{\sin y}{\cos y} = \tan y$$ - Integrasi: $$dx = \tan y \, dy$$ $$x = -\ln |\cos y| + C$$ - Solusi implisit: $$x + \ln |\cos y| = C$$ 5. **Penyelesaian soal 3:** Persamaan: $-3 y \, dy + 2 x \, dy = 0$ Perhatikan ada $dy$ di kedua suku, ini tampak seperti kesalahan penulisan, asumsikan yang benar adalah: $$-3 y \, dy + 2 x \, dx = 0$$ Jika benar, maka: - Pisahkan variabel: $$-3 y \, dy = -2 x \, dx$$ $$3 y \, dy = 2 x \, dx$$ - Integrasi kedua sisi: $$\int 3 y \, dy = \int 2 x \, dx$$ $$\frac{3 y^2}{2} = x^2 + C$$ - Solusi implisit: $$3 y^2 = 2 x^2 + C'$$ 6. **Kesimpulan:** - Soal 1 menghasilkan solusi implisit $$\frac{g}{2} x^2 + 2 y^2 = C$$. - Soal 2 menghasilkan solusi implisit $$x + \ln |\cos y| = C$$. - Soal 3 menghasilkan solusi implisit $$3 y^2 = 2 x^2 + C'$$. Semua solusi ini merupakan bentuk umum solusi ODE yang dapat digunakan untuk menentukan fungsi $y(x)$ jika diberikan kondisi awal.