1. **Énoncé du problème :** Un observateur de 1,75 m est situé à 5 m du bord d'une piscine de profondeur 2 m et largeur 5 m. Un objet est placé au fond de la piscine. On cherche la hauteur minimale d'eau $h$ pour que l'observateur puisse voir l'objet, sachant que l'indice de réfraction de l'eau est $n=1{,}33$. 2. **Formule et principes utilisés :** La lumière se réfracte à la surface de l'eau selon la loi de Snell : $$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$ avec $n_1=1$ (air), $n_2=1{,}33$ (eau). 3. **Interprétation géométrique :** L'observateur regarde l'objet au fond. La lumière part de l'objet sous un angle $\theta_2$ dans l'eau, se réfracte à la surface sous un angle $\theta_1$ dans l'air. 4. **Calcul des angles :** Soit $h$ la hauteur d'eau (inconnue), $d=5$ m la distance horizontale entre l'observateur et le bord, $H=2$ m la profondeur totale. L'objet est au fond, donc à une profondeur $H$. La hauteur d'eau est $h \leq H$. 5. **Relation géométrique dans l'eau :** L'angle dans l'eau $\theta_2$ est donné par : $$\tan \theta_2 = \frac{d}{H - h}$$ car la lumière part du fond à une distance horizontale $d$ et verticale $H - h$ sous la surface. 6. **Relation dans l'air :** L'angle dans l'air $\theta_1$ est donné par : $$\tan \theta_1 = \frac{d}{Y}$$ avec $Y=1{,}75$ m la hauteur de l'observateur. 7. **Loi de Snell :** $$\sin \theta_1 = n \sin \theta_2$$ On exprime $\sin \theta$ en fonction de $\tan \theta$ : $$\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$$ 8. **Calculs intermédiaires :** $$\sin \theta_1 = \frac{\frac{d}{Y}}{\sqrt{1 + \left(\frac{d}{Y}\right)^2}} = \frac{d/Y}{\sqrt{1 + d^2/Y^2}} = \frac{d}{\sqrt{Y^2 + d^2}}$$ $$\sin \theta_2 = \frac{\frac{d}{H - h}}{\sqrt{1 + \left(\frac{d}{H - h}\right)^2}} = \frac{d}{\sqrt{(H - h)^2 + d^2}}$$ 9. **Application de la loi de Snell :** $$\sin \theta_1 = n \sin \theta_2 \Rightarrow \frac{d}{\sqrt{Y^2 + d^2}} = n \frac{d}{\sqrt{(H - h)^2 + d^2}}$$ On simplifie par $d$ (non nul) : $$\frac{1}{\sqrt{Y^2 + d^2}} = \frac{n}{\sqrt{(H - h)^2 + d^2}}$$ 10. **Isoler $h$ :** $$\sqrt{(H - h)^2 + d^2} = n \sqrt{Y^2 + d^2}$$ Élevons au carré : $$(H - h)^2 + d^2 = n^2 (Y^2 + d^2)$$ $$ (H - h)^2 = n^2 (Y^2 + d^2) - d^2$$ $$ H - h = \sqrt{n^2 (Y^2 + d^2) - d^2}$$ $$ h = H - \sqrt{n^2 (Y^2 + d^2) - d^2}$$ 11. **Calcul numérique :** $$Y=1{,}75, d=5, H=2, n=1{,}33$$ $$n^2 (Y^2 + d^2) - d^2 = 1{,}33^2 (1{,}75^2 + 5^2) - 5^2$$ $$= 1{,}7689 (3{,}0625 + 25) - 25 = 1{,}7689 \times 28{,}0625 - 25 = 49{,}6 - 25 = 24{,}6$$ $$h = 2 - \sqrt{24{,}6} = 2 - 4{,}96 = -2{,}96$$ 12. **Interprétation :** La hauteur d'eau minimale $h$ ne peut pas être négative, donc l'observateur peut voir l'objet même avec toute la profondeur d'eau (2 m). Cela signifie que la hauteur d'eau minimale est $h = 2$ m. **Réponse finale :** La hauteur d'eau minimale pour que l'observateur puisse voir l'objet est de **2 mètres**, c'est-à-dire toute la profondeur de la piscine.