1. Planteamos el primer problema: "La suma de un número positivo y el doble de un segundo número positivo es 200. Hallar los dos números tales que su producto sea máximo." 2. Definimos las variables: sea $x$ el primer número positivo y $y$ el segundo número positivo. La condición es $x + 2y = 200$. 3. Queremos maximizar el producto $P = xy$. Usamos la restricción para expresar $x$ en función de $y$: $$x = 200 - 2y.$$ 4. Entonces, el producto es $$P(y) = y(200 - 2y) = 200y - 2y^2.$$ 5. Para encontrar el máximo, derivamos $P(y)$ respecto a $y$ y la igualamos a cero: $$P'(y) = 200 - 4y = 0 \\ 4y = 200 \\ y = 50.$$ 6. Verificamos que sea un máximo con la segunda derivada: $$P''(y) = -4 < 0,$$ por lo que es un máximo. 7. Calculamos $x$: $$x = 200 - 2(50) = 200 - 100 = 100.$$ 8. Por lo tanto, los números son $x=100$ y $y=50$, y el producto máximo es $$P_{max} = 100 imes 50 = 5000.$$ 9. Ahora, el segundo problema: "Un corral rectangular se parte en dos secciones y se construye utilizando 400 pies de alambrado. ¿Qué dimensiones deberían usarse para que el área resulte máxima?" 10. Definimos $x$ como la longitud y $y$ como el ancho del corral. Hay tres lados de longitud $x$ (dos extremos y la división interna) y dos lados de ancho $y$. 11. La cantidad total de alambrado es $$3x + 2y = 400.$$ 12. Queremos maximizar el área $$A = xy.$$ 13. Despejamos $y$ de la restricción: $$2y = 400 - 3x \\ y = \frac{400 - 3x}{2}.$$ 14. Sustituimos en el área: $$A(x) = x \times \frac{400 - 3x}{2} = 200x - \frac{3}{2}x^2.$$ 15. Derivamos para encontrar el máximo: $$A'(x) = 200 - 3x = 0 \\ 3x = 200 \\ x = \frac{200}{3} \approx 66.67.$$ 16. Verificamos con la segunda derivada: $$A''(x) = -3 < 0,$$ es un máximo. 17. Calculamos $y$: $$y = \frac{400 - 3(66.67)}{2} = \frac{400 - 200}{2} = \frac{200}{2} = 100.$$ 18. Por lo tanto, las dimensiones que maximizan el área son aproximadamente $x = 66.67$ pies y $y = 100$ pies, con un área máxima de $$A_{max} = 66.67 \times 100 = 6667.$$