1. Masalah: Kita ingin membuat reservoir berbentuk kotak dengan panjang $p$, lebar $l$, dan tinggi $t$. Diketahui panjang $p = 2t$ dan volume reservoir adalah 1200 liter (atau 1200 dm³). Biaya pembuatan alas adalah $\frac{1}{6}$ dari biaya pembuatan sisi tegak. Tujuan: menentukan ukuran reservoir agar biaya pembuatan seminimal mungkin. 2. Rumus volume kotak: $$V = p \times l \times t$$ Diketahui $V = 1200$ dan $p = 2t$, maka: $$1200 = 2t \times l \times t = 2t^2 l$$ Sehingga: $$l = \frac{1200}{2t^2} = \frac{600}{t^2}$$ 3. Biaya pembuatan: - Biaya alas proporsional dengan luas alas: $$A_{alas} = p \times l = 2t \times l = 2t \times \frac{600}{t^2} = \frac{1200}{t}$$ - Biaya sisi tegak proporsional dengan luas sisi tegak. Sisi tegak terdiri dari 2 sisi panjang dan 2 sisi lebar: - Luas sisi panjang: $2 \times (p \times t) = 2 \times (2t \times t) = 4t^2$ - Luas sisi lebar: $2 \times (l \times t) = 2 \times \left(\frac{600}{t^2} \times t\right) = 2 \times \frac{600}{t} = \frac{1200}{t}$ - Total luas sisi tegak: $$4t^2 + \frac{1200}{t}$$ 4. Misal biaya pembuatan sisi tegak per satuan luas adalah $c$, maka biaya alas per satuan luas adalah $\frac{c}{6}$. Total biaya $C$: $$C = \text{biaya alas} + \text{biaya sisi tegak} = \frac{c}{6} \times A_{alas} + c \times (4t^2 + \frac{1200}{t})$$ Substitusi $A_{alas} = \frac{1200}{t}$: $$C = \frac{c}{6} \times \frac{1200}{t} + c \times (4t^2 + \frac{1200}{t}) = c \left(\frac{200}{t} + 4t^2 + \frac{1200}{t}\right) = c \left(4t^2 + \frac{1400}{t}\right)$$ 5. Karena $c$ adalah konstanta positif, minimalkan fungsi: $$f(t) = 4t^2 + \frac{1400}{t}$$ 6. Turunkan $f(t)$ terhadap $t$ dan cari titik kritis: $$f'(t) = 8t - \frac{1400}{t^2}$$ Setarakan dengan nol: $$8t - \frac{1400}{t^2} = 0 \Rightarrow 8t = \frac{1400}{t^2} \Rightarrow 8t^3 = 1400 \Rightarrow t^3 = \frac{1400}{8} = 175$$ 7. Hitung $t$: $$t = \sqrt[3]{175} \approx 5.59$$ 8. Hitung $l$ dan $p$: $$l = \frac{600}{t^2} = \frac{600}{(5.59)^2} \approx \frac{600}{31.25} = 19.2$$ $$p = 2t = 2 \times 5.59 = 11.18$$ 9. Jadi, ukuran reservoir yang meminimalkan biaya adalah: - Tinggi $t \approx 5.59$ dm - Lebar $l \approx 19.2$ dm - Panjang $p \approx 11.18$ dm Ini memastikan volume 1200 liter dan biaya pembuatan seminimal mungkin.