1. Planteamos el problema: Encontrar el valor máximo de la utilidad $U(x) = -2x^{2} + 24x - 40$, donde $x$ representa cientos de unidades producidas y vendidas. 2. La función es cuadrática con coeficiente principal negativo ($-2$), por lo que la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo. 3. La fórmula para encontrar el vértice (máximo o mínimo) de una función cuadrática $ax^{2} + bx + c$ es $x = -\frac{b}{2a}$. 4. Aplicamos la fórmula con $a = -2$ y $b = 24$: $$x = -\frac{24}{2 \times (-2)} = -\frac{24}{-4} = 6$$ 5. Evaluamos la función en $x=6$ para encontrar la utilidad máxima: $$U(6) = -2(6)^{2} + 24(6) - 40 = -2(36) + 144 - 40 = -72 + 144 - 40 = 32$$ 6. Interpretación: La utilidad máxima es 32 miles de dólares cuando se producen y venden 600 unidades. Respuesta final: La utilidad máxima es $32$ miles de dólares.