1. **Planteamiento del problema:** Queremos maximizar la función de ganancia $$f(x,y) = 100x + 200y - 2x^2 - 4xy - 5y^2$$ donde $x$ y $y$ son las cantidades (en cientos) de juguetes tipo A y B respectivamente. 2. **Restricción de presupuesto:** El costo por unidad es 5 para tipo A y 10 para tipo B, y el presupuesto es 20,000 dólares. Como $x$ y $y$ están en cientos, el costo total es $$5 \cdot 100x + 10 \cdot 100y = 500x + 1000y \leq 20000$$ Dividiendo todo entre 100: $$5x + 10y \leq 200$$ 3. **Formulación del problema con restricción:** Maximizar $$f(x,y) = 100x + 200y - 2x^2 - 4xy - 5y^2$$ sujeto a $$5x + 10y \leq 200$$ y $$x,y \geq 0$$. 4. **Encontrar puntos críticos sin restricción:** Derivadas parciales: $$\frac{\partial f}{\partial x} = 100 - 4x - 4y$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = 200 - 4x - 10y$$ Igualamos a cero para hallar extremos: $$100 - 4x - 4y = 0 \Rightarrow 4x + 4y = 100$$ $$200 - 4x - 10y = 0 \Rightarrow 4x + 10y = 200$$ 5. **Resolver sistema:** De la primera: $$x + y = 25$$ De la segunda: $$2x + 5y = 100$$ Multiplicamos la primera por 2: $$2x + 2y = 50$$ Restamos de la segunda: $$(2x + 5y) - (2x + 2y) = 100 - 50 \Rightarrow 3y = 50 \Rightarrow y = \frac{50}{3} \approx 16.67$$ Sustituimos en $$x + y = 25$$: $$x = 25 - 16.67 = 8.33$$ 6. **Verificar restricción:** $$5x + 10y = 5(8.33) + 10(16.67) = 41.65 + 166.7 = 208.35 > 200$$ No cumple la restricción, por lo que el máximo está en la frontera. 7. **Maximizar en la frontera:** La frontera es $$5x + 10y = 200 \Rightarrow y = 20 - 0.5x$$ Sustituimos en $$f(x,y)$$: $$f(x) = 100x + 200(20 - 0.5x) - 2x^2 - 4x(20 - 0.5x) - 5(20 - 0.5x)^2$$ Simplificamos paso a paso: $$f(x) = 100x + 4000 - 100x - 2x^2 - 80x + 2x^2 - 5(400 - 20x + 0.25x^2)$$ $$f(x) = 4000 - 80x - 5(400 - 20x + 0.25x^2)$$ $$f(x) = 4000 - 80x - 2000 + 100x - 1.25x^2$$ $$f(x) = 2000 + 20x - 1.25x^2$$ 8. **Derivada para maximizar:** $$f'(x) = 20 - 2.5x$$ Igualamos a cero: $$20 - 2.5x = 0 \Rightarrow x = 8$$ 9. **Encontrar $y$ correspondiente:** $$y = 20 - 0.5(8) = 20 - 4 = 16$$ 10. **Calcular ganancia máxima:** $$f(8,16) = 100(8) + 200(16) - 2(8)^2 - 4(8)(16) - 5(16)^2$$ $$= 800 + 3200 - 128 - 512 - 1280 = 4000 - 1920 = 2080$$ Recuerde que la ganancia está en miles de dólares, entonces la ganancia máxima es 2080 miles, o 2,080,000 dólares. **Respuesta final:** - Valores óptimos: $$x=8$$ (800 unidades tipo A), $$y=16$$ (1600 unidades tipo B). - Ganancia máxima: $$2080$$ miles de dólares.