1. **Énoncé du problème** : On considère la fonction de deux variables $$f(x,y) = x^4 + y^3 - 4y + 1$$. Nous devons : - Calculer les dérivées partielles premières et secondes. - Donner la matrice Hessienne et calculer son déterminant $$D = rt - s^2$$. - Résoudre le problème d'optimisation en trouvant les points critiques et leur nature. 2. **Dérivées partielles premières** : - $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3$$ - $$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 4$$ 3. **Dérivées partielles secondes** : - $$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2$$ - $$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y$$ - $$f_{xy} = f_{yx} = 0$$ (car les termes croisés n'existent pas) 4. **Matrice Hessienne** $$H_f$$ : $$ H_f = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12x^2 & 0 \\ 0 & 6y \end{pmatrix} $$ 5. **Calcul du déterminant Hessien** $$D$$ : $$ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (12x^2)(6y) - 0 = 72x^2 y $$ 6. **Conditions nécessaires pour les points critiques** : Les points critiques sont les solutions de : $$ f_x = 0 \Rightarrow 4x^3 = 0 \Rightarrow x = 0 $$ $$ f_y = 0 \Rightarrow 3y^2 - 4 = 0 \Rightarrow y^2 = \frac{4}{3} \Rightarrow y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} $$ Donc les points critiques sont : $$ (0, \frac{2}{\sqrt{3}}) \quad \text{et} \quad (0, -\frac{2}{\sqrt{3}}) $$ 7. **Conditions suffisantes pour la nature des points critiques** : - Si $$D > 0$$ et $$f_{xx} > 0$$, alors minimum local. - Si $$D > 0$$ et $$f_{xx} < 0$$, alors maximum local. - Si $$D < 0$$, alors point selle. - Si $$D = 0$$, test indéterminé. Évaluons $$D$$ et $$f_{xx}$$ en chaque point critique : Pour $$x=0$$, $$f_{xx} = 0$$. - En $$y = \frac{2}{\sqrt{3}} > 0$$ : $$ D = 72 \times 0^2 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 0 $$ - En $$y = -\frac{2}{\sqrt{3}} < 0$$ : $$ D = 72 \times 0^2 \times \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 0 $$ Le déterminant Hessien est nul aux deux points, donc le test est indéterminé. 8. **Analyse complémentaire** : - Pour $$x=0$$, la fonction devient $$f(0,y) = y^3 - 4y + 1$$. - Étudions le comportement de $$f(0,y)$$ autour des points critiques. Pour $$y = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ : - La dérivée seconde $$f_{yy} = 6y = 6 \times \frac{2}{\sqrt{3}} > 0$$, ce qui suggère un minimum local en $$y$$. Pour $$y = -\frac{2}{\sqrt{3}}$$ : - $$f_{yy} = 6y = 6 \times \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) < 0$$, ce qui suggère un maximum local en $$y$$. 9. **Conclusion** : - Le point critique $$(0, \frac{2}{\sqrt{3}})$$ est un minimum local. - Le point critique $$(0, -\frac{2}{\sqrt{3}})$$ est un maximum local. --- **Résumé final** : - Dérivées premières : $$f_x = 4x^3$$, $$f_y = 3y^2 - 4$$ - Dérivées secondes : $$f_{xx} = 12x^2$$, $$f_{yy} = 6y$$, $$f_{xy} = 0$$ - Hessienne : $$H_f = \begin{pmatrix}12x^2 & 0 \\ 0 & 6y\end{pmatrix}$$ - Déterminant Hessien : $$D = 72x^2 y$$ - Points critiques : $$(0, \pm \frac{2}{\sqrt{3}})$$ - Nature : minimum local en $$(0, \frac{2}{\sqrt{3}})$$, maximum local en $$(0, -\frac{2}{\sqrt{3}})$$.