1. **Énoncé du problème :** Nous avons un tableau de programme linéaire avec des variables $x$, $y$, $z$ et des variables d'écart $E1$, $E2$, $E3$. Le but est d'analyser ce tableau, déterminer le programme linéaire, identifier les variables en base et hors base, puis effectuer la première itération du simplexe. 2. **Remarques fondamentales :** - Les variables $E1$, $E2$, $E3$ sont des variables d'écart (variables artificielles ou de base initiale). - Les contraintes sont données par les lignes $E1$, $E2$, $E3$ avec leurs coefficients. - La ligne $\Delta_j$ correspond aux coefficients de la fonction objectif dans la forme tableau du simplexe. - La colonne "Somme" correspond aux termes constants des contraintes. 3. **Détermination du programme linéaire :** - Les contraintes sont : $$ \begin{cases} 150x + 180y + 105z = 6300 \\ 18x + 27y + 15z = 840 \\ x + y + z = 40 \end{cases} $$ - Les variables d'écart $E1$, $E2$, $E3$ sont introduites pour transformer les inégalités en égalités (ici elles sont déjà en égalité, donc elles représentent la base initiale). - La fonction objectif à maximiser (d'après $\Delta_j$) est : $$Z = 420x + 510y + 360z$$ 4. **Variables en base et hors base :** - Variables en base : $E1$, $E2$, $E3$ (car elles ont une colonne identité dans le tableau). - Variables hors base : $x$, $y$, $z$. 5. **Première itération du simplexe :** - Identifier la variable entrante : celle avec le plus grand coefficient positif dans $\Delta_j$ parmi $x$, $y$, $z$ est $y$ avec 510. - Calculer les rapports pour déterminer la variable sortante : $$\frac{6300}{180} = 35, \quad \frac{840}{27} \approx 31.11, \quad \frac{40}{1} = 40$$ - Le plus petit ratio est $31.11$, donc la variable sortante est $E2$. 6. **Mise à jour du tableau (pivot sur la ligne $E2$, colonne $y$) :** - Diviser la ligne $E2$ par 27 pour rendre le pivot égal à 1. - Mettre à jour les autres lignes pour annuler les coefficients dans la colonne $y$. 7. **Conclusion :** - Après cette première itération, $y$ entre en base, $E2$ sort de base. - Le tableau est mis à jour pour continuer les itérations jusqu'à l'optimalité. **Résumé :** - Programme linéaire : $$\max Z = 420x + 510y + 360z$$ $$\text{sous contraintes}$$ $$150x + 180y + 105z = 6300$$ $$18x + 27y + 15z = 840$$ $$x + y + z = 40$$ - Base initiale : $E1$, $E2$, $E3$ - Première itération : variable entrante $y$, variable sortante $E2$.