1. Masalah: Morgan ingin membuat topi (A) dan terompet (B) dengan anggaran 1000. Biaya topi Rp 25 per unit dan terompet Rp 50 per unit. Fungsi produksi adalah $$P = A^2 B^3$$. 2. Diketahui: - Anggaran: $$25A + 50B = 1000$$ - Fungsi produksi: $$P = A^2 B^3$$ 3. Tujuan: Maksimalkan $$P$$ dengan kendala anggaran. 4. Dari kendala anggaran, kita dapatkan: $$25A + 50B = 1000 \Rightarrow A + 2B = 40 \Rightarrow A = 40 - 2B$$ 5. Substitusi ke fungsi produksi: $$P = (40 - 2B)^2 B^3$$ 6. Maksimalkan $$P$$ terhadap $$B$$: Hitung turunan pertama: $$\frac{dP}{dB} = 2(40 - 2B)(-2) B^3 + (40 - 2B)^2 3 B^2$$ 7. Sederhanakan turunan: $$\frac{dP}{dB} = -4(40 - 2B) B^3 + 3(40 - 2B)^2 B^2$$ 8. Faktorkan: $$B^2 ( -4(40 - 2B) B + 3(40 - 2B)^2 ) = 0$$ 9. Karena $$B^2 = 0$$ menghasilkan $$B=0$$ (tidak mungkin produksi), fokus pada: $$-4(40 - 2B) B + 3(40 - 2B)^2 = 0$$ 10. Misalkan $$x = 40 - 2B$$, maka: $$-4 x B + 3 x^2 = 0 \Rightarrow x(-4B + 3x) = 0$$ 11. Karena $$x = 40 - 2B \neq 0$$ (jika nol, $$A=0$$, produksi nol), maka: $$-4B + 3x = 0 \Rightarrow 3x = 4B$$ 12. Substitusi $$x = 40 - 2B$$: $$3(40 - 2B) = 4B \Rightarrow 120 - 6B = 4B \Rightarrow 120 = 10B \Rightarrow B = 12$$ 13. Hitung $$A$$: $$A = 40 - 2(12) = 40 - 24 = 16$$ 14. Hitung produksi optimum: $$P = A^2 B^3 = 16^2 \times 12^3 = 256 \times 1728 = 442368$$ Jawaban: a. Jumlah terompet $$B = 12$$ unit. b. Produksi optimum $$P = 442368$$.