1. El problema es encontrar la raíz de una función usando el método de Newton-Raphson. 2. La fórmula del método de Newton-Raphson es: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ Donde $x_n$ es la aproximación actual, $f(x)$ es la función y $f'(x)$ su derivada. 3. El método consiste en: - Elegir un valor inicial $x_0$ cercano a la raíz. - Calcular $x_1$ usando la fórmula. - Repetir hasta que la diferencia entre $x_{n+1}$ y $x_n$ sea suficientemente pequeña. 4. Ejemplo: Supongamos que queremos encontrar la raíz de $f(x) = x^2 - 2$. - $f'(x) = 2x$ - Elegimos $x_0 = 1$ 5. Iteración 1: $$x_1 = 1 - \frac{1^2 - 2}{2 \times 1} = 1 - \frac{-1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5$$ 6. Iteración 2: $$x_2 = 1.5 - \frac{1.5^2 - 2}{2 \times 1.5} = 1.5 - \frac{2.25 - 2}{3} = 1.5 - \frac{0.25}{3} = 1.5 - 0.0833 = 1.4167$$ 7. Iteración 3: $$x_3 = 1.4167 - \frac{1.4167^2 - 2}{2 \times 1.4167} \approx 1.4167 - \frac{2.0069 - 2}{2.8334} = 1.4167 - \frac{0.0069}{2.8334} = 1.4167 - 0.0024 = 1.4143$$ 8. La raíz aproximada es $x \approx 1.4143$, que es una buena aproximación de $\sqrt{2}$. Este método es rápido y eficiente para encontrar raíces cuando la función es diferenciable y la derivada no es cero cerca de la raíz.