1. مسئله: یافتن چندجمله‌ای درونیاب به روش تفاضلات تقسیم شده نیوتن برای نقاط داده شده $(-1,-3)$، $(1,0)$ و $(2,4)$ است. 2. فرمول چندجمله‌ای نیوتن: $$P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x - x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x - x_0)(x - x_1) + \cdots$$ که در آن $f[x_i]$ مقدار تابع در نقطه $x_i$ و $f[x_i,x_j]$ تفاضل تقسیم شده است. 3. محاسبه تفاضلات تقسیم شده: - $f[x_0] = f(-1) = -3$ - $f[x_1] = f(1) = 0$ - $f[x_2] = f(2) = 4$ 4. تفاضلات تقسیم شده مرتبه اول: $$f[x_0,x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{0 - (-3)}{1 - (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$$ $$f[x_1,x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 0}{2 - 1} = 4$$ 5. تفاضل تقسیم شده مرتبه دوم: $$f[x_0,x_1,x_2] = \frac{f[x_1,x_2] - f[x_0,x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{4 - 1.5}{2 - (-1)} = \frac{2.5}{3} \approx 0.8333$$ 6. جایگذاری در فرمول چندجمله‌ای نیوتن: $$P(x) = -3 + 1.5(x + 1) + 0.8333(x + 1)(x - 1)$$ 7. ساده‌سازی: $$P(x) = -3 + 1.5x + 1.5 + 0.8333(x^2 - 1) = -3 + 1.5x + 1.5 + 0.8333x^2 - 0.8333$$ $$P(x) = 0.8333x^2 + 1.5x - 2.3333$$ پاسخ نهایی: $$\boxed{P(x) = \frac{5}{6}x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{7}{3}}$$