1. Построим интерполяционный многочлен Ньютона с раздельными разностями для данных точек $x = 0,1,2,3,4$ и значений функции $f(0)=2, f(1)=0, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=2$.\n\n2. Сначала вычислим таблицу разделённых разностей:\n\n\begin{align*} \text{Узлы } x_i &: 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ f(x_i) &: 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ \Delta f &: & \frac{0-2}{1-0} = -2 & \frac{1-0}{2-1} = 1 & \frac{2-1}{3-2} = 1 & \frac{2-2}{4-3} = 0 \\ \Delta^2 f &: & & \frac{1 - (-2)}{2-0} = \frac{3}{2} = 1.5 & \frac{1 - 1}{3-1} = 0 & \frac{0 - 1}{4-2} = -\frac{1}{2} = -0.5 \\ \Delta^3 f &: & & & \frac{0 - 1.5}{3-0} = -\frac{1.5}{3} = -0.5 & \frac{-0.5 - 0}{4-1} = -\frac{0.5}{3} \approx -0.1667 \\ \Delta^4 f &: & & & & \frac{-0.1667 - (-0.5)}{4-0} = \frac{0.3333}{4} = 0.0833 \end{align*}\n\n3. Многочлен Ньютона:\n$$ P_4(x) = f(0) + \Delta f_0 (x - x_0) + \Delta^2 f_0 (x - x_0)(x - x_1) + \Delta^3 f_0 (x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) + \Delta^4 f_0 (x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) $$\nПодставим значения:\n$$ P_4(x) = 2 - 2(x - 0) + 1.5 (x - 0)(x - 1) - 0.5 (x - 0)(x - 1)(x - 2) + 0.0833 (x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 3) $$\n\n4. Для задачи 2: Аппроксимируем функцию $\cos x$ на отрезке $[-1,1]$ равномерной сеткой с $n+1$ узлами.\n\n5. Оценка погрешности интерполяции Лагранжа для функции $f$ с $(n+1)$-кратной производной:\n$$ |R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} \max_{x \in [-1,1]} |\omega_{n+1}(x)| $$\nгде $M = \max_{x \in [-1,1]} |f^{(n+1)}(x)|$, а $\omega_{n+1}(x) = \prod_{i=0}^n (x - x_i)$.\n\n6. Для $f(x) = \cos x$, производные цикличны: $|f^{(k)}(x)| \leq 1$ для всех $k$. Значит $M = 1$.\n\n7. Максимум $|\omega_{n+1}(x)|$ на $[-1,1]$ для равномерных узлов не превышает $2^{-(n+1)} (n+1)!$ (оценка).\n\n8. Тогда погрешность:\n$$ |R_n(x)| \leq \frac{1}{(n+1)!} \cdot 2^{-(n+1)} (n+1)! = 2^{-(n+1)} $$\n\n9. Требуем $|R_n(x)| \leq 0.001$, значит:\n$$ 2^{-(n+1)} \leq 0.001 $$\n\n10. Логарифмируем:\n$$ -(n+1) \log_2 2 \leq \log_2 0.001 \\ -(n+1) \leq \log_2 0.001 \\ n+1 \geq -\log_2 0.001 $$\n\n11. Вычислим $\log_2 0.001 = \log_2 10^{-3} = -3 \log_2 10 \approx -3 \times 3.3219 = -9.9657$.\n\n12. Значит:\n$$ n+1 \geq 9.9657 \Rightarrow n \geq 8.9657 $$\n\n13. Итог: $n = 9$ узлов достаточно, чтобы погрешность была не больше 0.001.