1. مسئله: با استفاده از چند جمله‌ای‌های لاگرانژ، چند جمله‌ای درونیاب تابع داده شده در نقاط $x_i = 0, 1, 2, 4$ با مقادیر متناظر $f_i = 1, 1, 2, 5$ را بیابید. 2. فرمول چند جمله‌ای لاگرانژ: $$L(x) = \sum_{i=0}^n f_i \ell_i(x)$$ که در آن $$\ell_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$ 3. محاسبه تک تک چند جمله‌ای‌های پایه لاگرانژ: - برای $i=0$: $$\ell_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{(0-1)(0-2)(0-4)} = \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{(-1)(-2)(-4)} = \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{-8}$$ - برای $i=1$: $$\ell_1(x) = \frac{(x-0)(x-2)(x-4)}{(1-0)(1-2)(1-4)} = \frac{x(x-2)(x-4)}{1 \times (-1) \times (-3)} = \frac{x(x-2)(x-4)}{3}$$ - برای $i=2$: $$\ell_2(x) = \frac{(x-0)(x-1)(x-4)}{(2-0)(2-1)(2-4)} = \frac{x(x-1)(x-4)}{2 \times 1 \times (-2)} = \frac{x(x-1)(x-4)}{-4}$$ - برای $i=3$: $$\ell_3(x) = \frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(4-0)(4-1)(4-2)} = \frac{x(x-1)(x-2)}{4 \times 3 \times 2} = \frac{x(x-1)(x-2)}{24}$$ 4. جایگذاری مقادیر $f_i$ در فرمول کلی: $$L(x) = 1 \times \ell_0(x) + 1 \times \ell_1(x) + 2 \times \ell_2(x) + 5 \times \ell_3(x)$$ 5. جایگذاری و ساده‌سازی: $$L(x) = \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{-8} + \frac{x(x-2)(x-4)}{3} + 2 \times \frac{x(x-1)(x-4)}{-4} + 5 \times \frac{x(x-1)(x-2)}{24}$$ 6. گسترش هر جمله: - $$\frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{-8} = \frac{x^3 -7x^2 +14x -8}{-8} = -\frac{1}{8}x^3 + \frac{7}{8}x^2 - \frac{14}{8}x + 1$$ - $$\frac{x(x-2)(x-4)}{3} = \frac{x(x^2 -6x +8)}{3} = \frac{x^3 -6x^2 +8x}{3} = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + \frac{8}{3}x$$ - $$2 \times \frac{x(x-1)(x-4)}{-4} = 2 \times \frac{x(x^2 -5x +4)}{-4} = 2 \times \frac{x^3 -5x^2 +4x}{-4} = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x$$ - $$5 \times \frac{x(x-1)(x-2)}{24} = 5 \times \frac{x(x^2 -3x +2)}{24} = 5 \times \frac{x^3 -3x^2 +2x}{24} = \frac{5}{24}x^3 - \frac{15}{24}x^2 + \frac{10}{24}x$$ 7. جمع همه جملات: $$L(x) = \left(-\frac{1}{8} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{24}\right)x^3 + \left(\frac{7}{8} - 2 + \frac{5}{2} - \frac{15}{24}\right)x^2 + \left(-\frac{14}{8} + \frac{8}{3} - 2 + \frac{10}{24}\right)x + 1$$ 8. محاسبه ضرایب: - ضریب $x^3$: $$-\frac{1}{8} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{24} = -\frac{3}{24} + \frac{8}{24} - \frac{12}{24} + \frac{5}{24} = (-3 + 8 - 12 + 5)/24 = (-2)/24 = -\frac{1}{12}$$ - ضریب $x^2$: $$\frac{7}{8} - 2 + \frac{5}{2} - \frac{15}{24} = \frac{21}{24} - \frac{48}{24} + \frac{60}{24} - \frac{15}{24} = (21 - 48 + 60 - 15)/24 = 18/24 = \frac{3}{4}$$ - ضریب $x$: $$-\frac{14}{8} + \frac{8}{3} - 2 + \frac{10}{24} = -\frac{42}{24} + \frac{64}{24} - \frac{48}{24} + \frac{10}{24} = (-42 + 64 - 48 + 10)/24 = (-16)/24 = -\frac{2}{3}$$ 9. نتیجه نهایی: $$L(x) = -\frac{1}{12}x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{3}x + 1$$ این چند جمله‌ای لاگرانژ درونیاب تابع داده شده است.