1. **Énoncé du problème** : Trouver la fonction $u(x,y)$ solution du problème de Dirichlet sur le domaine $\Omega = (0,1) \times (0,1)$ : $$-\Delta u(x,y) = f(x,y), \quad (x,y) \in \Omega,$$ $$u(x,y) = g(x,y), \quad (x,y) \in \partial \Omega,$$ où $f$ et $g$ sont des fonctions données. 2. **Discrétisation du domaine** : On divise $\Omega$ en un maillage uniforme avec $N+2$ points par direction, incluant les bords. Le pas est $$h = \frac{1}{N+1}.$$ Les indices $i,j$ varient de $0$ à $N+1$. Les points intérieurs sont ceux avec $i,j = 1, \ldots, N$. 3. **Approximation du Laplacien** : On approxime $-\Delta u$ par la méthode des différences finies centrées : $$-\Delta u(x_i,y_j) \approx -\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} - \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{h^2} = f_{i,j}.$$ 4. **Formule discrète** : En regroupant, $$\frac{4u_{i,j} - u_{i+1,j} - u_{i-1,j} - u_{i,j+1} - u_{i,j-1}}{h^2} = f_{i,j}.$$ 5. **Système linéaire** : Pour chaque point intérieur $(i,j)$, on obtient une équation linéaire reliant $u_{i,j}$ à ses voisins. Les conditions de Dirichlet imposent $u_{i,j} = g(x_i,y_j)$ sur le bord (indices $0$ ou $N+1$). 6. **Résolution** : On construit la matrice creuse correspondant à ce système et le vecteur second membre avec les valeurs de $f_{i,j}$ et les conditions aux bords. On résout ensuite ce système linéaire pour obtenir les valeurs $u_{i,j}$. **Résumé** : Le problème de Dirichlet est transformé en un système linéaire par différences finies sur une grille régulière. La solution numérique $u$ est obtenue en résolvant ce système. **Remarque** : La méthode est standard en analyse numérique pour les équations elliptiques.