1. **Énoncé du problème** : On considère l'équation différentielle $$-u''(x) + c(x)u(x) = f(x), \quad x \in [0,1],$$ avec les conditions aux limites $$u(0) = 0$$ et $$u(1) = 0$$, où $$c(x) > 0$$. 2. **Schéma aux différences finies** : On discrétise l'intervalle $$[0,1]$$ en $$N+1$$ points avec un pas $$h = \frac{1}{N+1}$$. Pour $$i = 1, \ldots, N$$, on approxime $$u''(x_i)$$ par $$u''(x_i) \approx \frac{u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1}}{h^2}$$. Le schéma devient donc : $$-\frac{u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1}}{h^2} + c_i u_i = f_i,$$ avec $$c_i = c(x_i)$$ et $$f_i = f(x_i)$$. 3. **Matrice du système linéaire** : On obtient un système $$A \mathbf{u} = \mathbf{f}$$ où $$A$$ est une matrice tridiagonale définie par : - Diagonale principale : $$\frac{2}{h^2} + c_i > 0$$ - Diagonales secondaires : $$-\frac{1}{h^2}$$ 4. **Inversibilité de la matrice** : La matrice $$A$$ est strictement diagonale dominante et symétrique définie positive car $$c(x) > 0$$. Donc, $$A$$ est inversible. 5. **Consistance** : Le schéma est une approximation d'ordre 2 de la dérivée seconde, donc l'erreur locale est $$O(h^2)$$. 6. **Stabilité** : La matrice $$A$$ est définie positive, donc le système est stable. 7. **Convergence** : Par le théorème de Lax, la consistance et la stabilité impliquent la convergence du schéma. 8. **Ordre du schéma** : L'ordre global de convergence est $$O(h^2)$$. **Réponse finale** : Le schéma aux différences finies est donné par $$-\frac{u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1}}{h^2} + c_i u_i = f_i,$$ avec $$A$$ matrice tridiagonale définie positive et inversible. Le schéma est consistant, stable, convergent et d'ordre 2.