1. समस्या: वह सबसे छोटी संख्या $x$ ज्ञात करें जो 12, 16, 18, 20 और 25 से विभाजित करने पर प्रत्येक बार शेष 4 देती है, और $x$ 7 से विभाजित होती है। 2. सूत्र और नियम: यदि कोई संख्या $x$ विभाजित करने पर शेष $r$ देता है, तो $x-r$ उस संख्या से पूर्णतः विभाजित होती है। 3. समाधान: - शेष 4 है, अतः $x-4$ 12, 16, 18, 20 और 25 से विभाजित होगा। - अतः $x-4 = ext{LCM}(12,16,18,20,25) imes k$ जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है। - पहले LCM निकालते हैं: - $12=2^2 imes 3$ - $16=2^4$ - $18=2 imes 3^2$ - $20=2^2 imes 5$ - $25=5^2$ - LCM = $2^4 imes 3^2 imes 5^2 = 16 imes 9 imes 25 = 3600$ 4. अतः $x-4 = 3600k$ 5. अब $x$ 7 से विभाजित है, अतः $x mod 7 = 0$ - $x = 3600k + 4$ - $3600k + 4 mod 7 = 0$ - $3600 mod 7 = 3600 - 7 imes 514 = 3600 - 3598 = 2$ - अतः $2k + 4 mod 7 = 0$ - $2k mod 7 = 3$ - $2k mod 7 = 3$ - $k mod 7 = 3 imes 2^{-1} mod 7$ - $2^{-1} mod 7$ वह संख्या है जो $2 imes ? mod 7 = 1$ - $2 imes 4 = 8 mod 7 = 1$, अतः $2^{-1} = 4$ - अतः $k mod 7 = 3 imes 4 = 12 mod 7 = 5$ 6. सबसे छोटी $k$ जो $k mod 7 = 5$ है, वह $k=5$ 7. अतः $x = 3600 imes 5 + 4 = 18004$ 8. अब $x$ के हजारवें स्थान का अंक ज्ञात करें: - $x = 18004$ - हजारवें स्थान का अंक $8$ है। अंतिम उत्तर: (2) 8