1. समस्या: 100 और 1000 के बीच ऐसी संख्याएं खोजनी हैं जो 12 से भाग देने पर शेष 5 दें और 15 से भाग देने पर शेष 8 दें। 2. गणितीय रूप में, हमें $x$ ऐसी संख्या चाहिए जो निम्न शर्तें पूरी करे: $$x \equiv 5 \pmod{12}$$ $$x \equiv 8 \pmod{15}$$ 3. पहली शर्त से, $x = 12k + 5$ जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है। 4. इसे दूसरी शर्त में रखें: $$12k + 5 \equiv 8 \pmod{15}$$ $$12k + 5 - 8 \equiv 0 \pmod{15}$$ $$12k - 3 \equiv 0 \pmod{15}$$ $$12k \equiv 3 \pmod{15}$$ 5. अब, $12k \equiv 3 \pmod{15}$ को हल करें। ध्यान दें कि $12 \equiv -3 \pmod{15}$, इसलिए: $$-3k \equiv 3 \pmod{15}$$ $$3k \equiv -3 \equiv 12 \pmod{15}$$ 6. अब, $3k \equiv 12 \pmod{15}$ को हल करें। 3 और 15 का महत्तम समापवर्तक 3 है, इसलिए हम दोनों पक्षों को 3 से विभाजित कर सकते हैं: $$k \equiv 4 \pmod{5}$$ 7. अतः, $k = 5m + 4$ जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है। 8. अब $x$ की अभिव्यक्ति: $$x = 12k + 5 = 12(5m + 4) + 5 = 60m + 48 + 5 = 60m + 53$$ 9. अब $x$ की वह मान खोजें जो 100 और 1000 के बीच हो: $$100 \leq 60m + 53 \leq 1000$$ 10. इसे हल करें: $$100 - 53 \leq 60m \leq 1000 - 53$$ $$47 \leq 60m \leq 947$$ 11. दोनों ओर को 60 से विभाजित करें: $$\frac{47}{60} \leq m \leq \frac{947}{60}$$ $$0.7833... \leq m \leq 15.7833...$$ 12. चूंकि $m$ पूर्णांक है, इसलिए $m = 1, 2, 3, ..., 15$ हो सकता है। 13. कुल संख्याएं = 15। 14. अंतिम उत्तर: 100 और 1000 के बीच ऐसी 15 संख्याएं हैं जो दी गई शर्तें पूरी करती हैं।