1. Мәселені айқындау: Бізге $p - q + r = \sqrt{p + q + r}$ теңдеуін қанағаттандыратын жай сандардың $(p, q, r)$ үштіктерін табу керек. 2. Теңдеуді қарастырайық: $p - q + r = \sqrt{p + q + r}$. 3. Екі жақты квадраттаймыз, себебі оң жақ квадрат түбірде тұр: $$ (p - q + r)^2 = p + q + r $$ 4. Сол жақты ашамыз: $$ p^2 - 2pq + q^2 + 2pr - 2qr + r^2 = p + q + r $$ 5. Барлық мүшелерді бір жаққа жинаймыз: $$ p^2 - 2pq + q^2 + 2pr - 2qr + r^2 - p - q - r = 0 $$ 6. Бұл теңдеуді жай сандарға қатысты шешу керек. Жай сандар оң және бүтін, сондықтан $p, q, r > 0$. 7. Қарапайым тексеру арқылы ықтимал мәндерді іздейміз. Мысалы, $p=2, q=2, r=2$: - Сол жақ: $2 - 2 + 2 = 2$ - Оң жақ: $\sqrt{2 + 2 + 2} = \sqrt{6} \approx 2.45$ - Тең емес. 8. Басқа ықтимал мәндерді тексереміз. Мысалы, $p=3, q=2, r=1$: - Сол жақ: $3 - 2 + 1 = 2$ - Оң жақ: $\sqrt{3 + 2 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.45$ - Тең емес. 9. $p=2, q=1, r=2$: - Сол жақ: $2 - 1 + 2 = 3$ - Оң жақ: $\sqrt{2 + 1 + 2} = \sqrt{5} \approx 2.24$ - Тең емес. 10. $p=3, q=1, r=1$: - Сол жақ: $3 - 1 + 1 = 3$ - Оң жақ: $\sqrt{3 + 1 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.24$ - Тең емес. 11. $p=5, q=3, r=1$: - Сол жақ: $5 - 3 + 1 = 3$ - Оң жақ: $\sqrt{5 + 3 + 1} = \sqrt{9} = 3$ - Теңдік орындалады. 12. Сондықтан $(p, q, r) = (5, 3, 1)$ шешімі жарамды. 13. Басқа ықтимал шешімдерді табу үшін жай сандарды тексеру керек, бірақ бұл теңдеудің күрделілігіне байланысты тексеру шектеулі болады. Қорытынды: $(5, 3, 1)$ үштігі теңдеуді қанағаттандырады.