1. مسئله: همه اعداد دو رقمی مضرب 3 را پشت سر هم می‌چینیم و عدد حاصل را بر 11 تقسیم می‌کنیم. باقی‌مانده تقسیم این عدد بر 11 را پیدا کنید. 2. اعداد دو رقمی مضرب 3 از 12 شروع شده و تا 99 ادامه دارد. این اعداد به صورت دنباله‌ای از اعداد 12، 15، 18، ...، 99 هستند. 3. تعداد این اعداد را پیدا می‌کنیم: کوچک‌ترین عدد دو رقمی مضرب 3 برابر 12 و بزرگ‌ترین 99 است. تعداد اعداد مضرب 3 بین 12 و 99 برابر است با: $$\frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$$ 4. عدد ساخته شده از کنار هم قرار دادن این اعداد 30 عدد دو رقمی است، یعنی عددی با 60 رقم. 5. برای محاسبه باقی‌مانده تقسیم این عدد بزرگ بر 11، از خاصیت باقی‌مانده تقسیم بر 11 استفاده می‌کنیم: باقی‌مانده تقسیم عدد بر 11 برابر است با باقی‌مانده جمع ارقام در جایگاه‌های فرد منهای جمع ارقام در جایگاه‌های زوج، تقسیم بر 11. 6. هر عدد دو رقمی مضرب 3 را به صورت $10a + b$ در نظر می‌گیریم که $a$ رقم دهگان و $b$ رقم یکان است. 7. چون اعداد پشت سر هم چیده شده‌اند، جایگاه ارقام به صورت متناوب زوج و فرد است. رقم اول (چپ‌ترین) در جایگاه 60 (زوج)، رقم دوم در جایگاه 59 (فرد)، و به همین ترتیب. 8. بنابراین، رقم‌های دهگان هر عدد در جایگاه‌های زوج و رقم‌های یکان در جایگاه‌های فرد قرار دارند. 9. جمع ارقام در جایگاه‌های فرد برابر است با جمع رقم‌های یکان همه اعداد مضرب 3 دو رقمی. 10. جمع ارقام در جایگاه‌های زوج برابر است با جمع رقم‌های دهگان همه اعداد مضرب 3 دو رقمی. 11. اعداد مضرب 3 دو رقمی به صورت زیر هستند: $$12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99$$ 12. جمع رقم‌های دهگان: $$1+1+1+2+2+2+3+3+3+3+4+4+4+5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+8+8+8+9+9+9+9 = 180$$ 13. جمع رقم‌های یکان: $$2+5+8+1+4+7+0+3+6+9+2+5+8+1+4+7+0+3+6+9+2+5+8+1+4+7+0+3+6+9 = 135$$ 14. باقی‌مانده تقسیم بر 11 برابر است با: $$ (\text{جمع ارقام جایگاه فرد} - \text{جمع ارقام جایگاه زوج}) \bmod 11 = (135 - 180) \bmod 11 = (-45) \bmod 11$$ 15. چون $-45 \bmod 11 = 11 - (45 \bmod 11) = 11 - 1 = 10$, پس باقی‌مانده برابر 10 است. پاسخ نهایی: باقی‌مانده تقسیم عدد ساخته شده بر 11 برابر است با 10.