1. مسئله: همه اعداد دو رقمی مضرب 3 را پشت سر هم می‌چینیم و عدد حاصل را بر 11 تقسیم می‌کنیم. باقی‌مانده تقسیم این عدد بر 11 را پیدا کنید. 2. اعداد دو رقمی مضرب 3 از 12 شروع شده و تا 99 ادامه دارند. این اعداد به صورت دنباله‌ای از مضرب‌های 3 هستند: 12, 15, 18, ..., 99. 3. تعداد این اعداد را پیدا می‌کنیم: اولین عدد: 12 = 3 \times 4 آخرین عدد: 99 = 3 \times 33 پس تعداد اعداد: $$33 - 4 + 1 = 30$$ 4. عدد ساخته شده را به صورت رشته‌ای از این اعداد پشت سر هم در نظر می‌گیریم: $$N = 12||15||18||...||99$$ که || به معنی چسباندن اعداد است. 5. برای محاسبه باقی‌مانده تقسیم بر 11، از خاصیت باقی‌مانده استفاده می‌کنیم: اگر $$N = a \times 10^k + b$$ باشد، آنگاه $$N \bmod 11 = ((a \bmod 11) \times (10^k \bmod 11) + b \bmod 11) \bmod 11$$ 6. هر عدد دو رقمی را جداگانه در نظر می‌گیریم و به ترتیب از سمت چپ به راست می‌چسبانیم. هر بار باید توان 10 را برای تعداد ارقام عدد بعدی محاسبه کنیم. 7. چون همه اعداد دو رقمی هستند، هر بار عدد بعدی 2 رقم دارد، پس هر بار باید ضرب در $$10^2 = 100$$ انجام شود. 8. باقی‌مانده $$100 \bmod 11$$ را محاسبه می‌کنیم: $$100 \div 11 = 9$$ با باقی‌مانده $$1$$ پس $$100 \equiv 1 \pmod{11}$$ 9. بنابراین ضرب در $$10^2$$ معادل ضرب در 1 در مد 11 است، یعنی تاثیری ندارد. 10. پس باقی‌مانده کل عدد برابر است با جمع باقی‌مانده‌های اعداد دو رقمی مضرب 3 در مد 11: $$\sum_{k=4}^{33} (3k) \bmod 11$$ 11. ابتدا مجموع اعداد مضرب 3 را محاسبه می‌کنیم: $$\sum_{k=4}^{33} 3k = 3 \sum_{k=4}^{33} k$$ 12. مجموع اعداد از 1 تا 33 برابر است با: $$\frac{33 \times 34}{2} = 561$$ 13. مجموع اعداد از 1 تا 3 برابر است با: $$\frac{3 \times 4}{2} = 6$$ 14. پس: $$\sum_{k=4}^{33} k = 561 - 6 = 555$$ 15. بنابراین: $$\sum_{k=4}^{33} 3k = 3 \times 555 = 1665$$ 16. باقی‌مانده تقسیم 1665 بر 11 را محاسبه می‌کنیم: $$1665 \div 11 = 151$$ با باقی‌مانده 4 17. پس باقی‌مانده کل عدد ساخته شده بر 11 برابر است با 4. پاسخ نهایی: $$\boxed{4}$$