### Exercice 18 1. Décomposer $a=118800$ et $b=12600$ en produit de facteurs premiers. - Pour $a=118800$ : - $118800 = 1188 \times 100$ - $1188 = 2^2 \times 3^3 \times 11$ - $100 = 2^2 \times 5^2$ - Donc $a = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 11$ - Pour $b=12600$ : - $12600 = 126 \times 100$ - $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ - $100 = 2^2 \times 5^2$ - Donc $b = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7$ 2. Donner le nombre de diviseurs de $a$ et $b$. - Le nombre de diviseurs de $$a = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 11^1$$ est $(4+1)(3+1)(2+1)(1+1) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ - Pour $$b = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$$ nombre de diviseurs est $(3+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 3 \times 2 = 72$ 3. Déterminer PGCD$(a,b)$ et PPCM$(a,b)$. - PGCD prend les facteurs premiers avec exposants minimums : $$PGCD = 2^{\min(4,3)} \times 3^{\min(3,2)} \times 5^{\min(2,2)} = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 2700$$ - PPCM prend exposants maximums pour tous : $$PPCM = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7 \times 11 = 5544000$$ 4. Trouver plus petit entier $p$ tel que $p \times a$ soit un carré parfait. - $a=2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 11^1$ - Pour que $p \times a$ soit carré parfait, exposants doivent être pairs. - Actuels exposants impairs: $3$ (pour 3), $1$ (pour 11) - On ajoute $p=3^1 \times 11^1 = 33$ pour que tous exposants soient pairs. 5. Trouver plus petit entier $q$ tel que $b \times q$ soit un carré parfait. - $b = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$ - Exposants impairs : $3$ (pour 2), $1$ (pour 7) - $q = 2^1 \times 7^1 = 14$ 6. Simplifier $\dfrac{a}{b}$ et $\sqrt{a b}$. - $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 11}{2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7} = 2^{4-3} \times 3^{3-2} \times \dfrac{11}{7} = 2 \times 3 \times \dfrac{11}{7} = \dfrac{66}{7}$ - Pour $\sqrt{ab}$, $$ab = 2^{4+3} \times 3^{3+2} \times 5^{2+2} \times 7 \times 11 = 2^7 \times 3^5 \times 5^4 \times 7^1 \times 11^1$$ $$\sqrt{ab} = 2^{7/2} \times 3^{5/2} \times 5^{4/2} \times 7^{1/2} \times 11^{1/2} = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times \sqrt{2 \times 3 \times 7 \times 11} = 8 \times 9 \times 25 \times \sqrt{462} = 1800 \sqrt{462}$$ 7. Pour $a = 45 \times 8^3 \times 120$ et $b=14 \times 850$ - Décomposer : - $45=3^2 \times 5$ - $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$ - $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ - Donc $a=3^2 \times 5 \times 2^9 \times 2^3 \times 3 \times 5 = 2^{12} \times 3^{3} \times 5^{2}$ - Pour $b=14 \times 850$: - $14=2 \times 7$ - $850=2 \times 5^2 \times 17$ - Donc $b = 2^2 \times 5^2 \times 7 \times 17$ Le reste des questions 2 à 6 est traité exactement comme pour le premier couple $a,b$ avec ces nouveaux décomptes. --- ### Exercice 19 1. Montrer que $n=xyz - zyx$ est multiple de 99. - $N=100x + 10y + z$ - $M=100z + 10y + x$ - $n = N - M = 100x + 10y + z - (100z + 10y + x) = 99x - 99z = 99(x - z)$ - Donc, $n$ est multiple de 99. 2. Montrer que si $y = x + z$, alors $N=xyz$ est divisible par 11. - $N = 100x + 10y + z$ - Substituer $y = x + z$: $$N = 100x + 10(x + z) + z = 110x + 11 z = 11(10x + z)$$ - Donc $N$ est divisible par 11. --- ### PGCD et simplification - PGCD$(33075, 7875)$: - Décomposer 33075 et 7875: - $33075 = 3^2 \times 5^2 \times 7 \times 11$ - $7875 = 3^2 \times 5^3 \times 7$ - PGCD$(33075,7875) = 3^2 \times 5^2 \times 7 = 1575$ - Simplifier: $$A = \sqrt{33075} = \sqrt{3^2 \times 5^2 \times 7 \times 11} = 3 \times 5 \times \sqrt{77} = 15 \sqrt{77}$$ $$B = \frac{33075}{7875} = \frac{3^2 \times 5^2 \times 7 \times 11}{3^2 \times 5^3 \times 7} = \frac{11}{5}$$ --- ### Exercice 14 1. $A = 5^{n+2} - 5^n$ - Factoriser: $$A = 5^n (5^2 - 1) = 5^n (25 - 1) = 5^n \times 24$$ - $24 = 2^3 \times 3$ donc facteurs premiers de A sont $5^n \times 2^3 \times 3$ - Montrer divisible par 6: - $6 = 2 \times 3$ - Puisque 24 contient $2$ et $3$, $24$ est divisible par 6, donc $A$ aussi. 2. $B = 3^{n+3} + 3^n$ - Factoriser: $$B = 3^n (3^3 + 1) = 3^n (27 + 1) = 3^n \times 28$$ - $28 = 2^2 \times 7$ - Facteurs premiers de $B$ : $3^n \times 2^2 \times 7$ - Montrer divisible par 14: - $14 = 2 \times 7$ - Comme $28$ contient $2$ et $7$, $B$ est divisible par 14.