1. **问题陈述**：求解同余方程组： $$x \equiv 11 \pmod{11},\quad x \equiv 2 \pmod{12},\quad x \equiv 4 \pmod{13}$$ 2. **使用中国剩余定理（CRT）**： 中国剩余定理适用于模数两两互质的同余方程组。这里的模数是11、12和13。 3. **检查模数是否两两互质**： - $\gcd(11,12)=1$ - $\gcd(11,13)=1$ - $\gcd(12,13)=1$ 模数两两互质，满足CRT条件。 4. **计算总模数**： $$N = 11 \times 12 \times 13 = 1716$$ 5. **计算每个模数对应的部分积**： $$N_1 = \frac{N}{11} = 156, \quad N_2 = \frac{N}{12} = 143, \quad N_3 = \frac{N}{13} = 132$$ 6. **求解每个部分积关于对应模数的逆元**： 求 $M_i$ 满足： $$N_i \times M_i \equiv 1 \pmod{n_i}$$ - 对于 $n_1=11$，求 $M_1$ 使得 $156 \times M_1 \equiv 1 \pmod{11}$。 计算 $156 \mod 11 = 2$，所以求 $2 \times M_1 \equiv 1 \pmod{11}$。 逆元 $M_1=6$，因为 $2 \times 6=12 \equiv 1 \pmod{11}$。 - 对于 $n_2=12$，求 $M_2$ 使得 $143 \times M_2 \equiv 1 \pmod{12}$。 计算 $143 \mod 12 = 11$，所以求 $11 \times M_2 \equiv 1 \pmod{12}$。 逆元 $M_2=11$，因为 $11 \times 11=121 \equiv 1 \pmod{12}$。 - 对于 $n_3=13$，求 $M_3$ 使得 $132 \times M_3 \equiv 1 \pmod{13}$。 计算 $132 \mod 13 = 2$，所以求 $2 \times M_3 \equiv 1 \pmod{13}$。 逆元 $M_3=7$，因为 $2 \times 7=14 \equiv 1 \pmod{13}$。 7. **构造解**： $$x \equiv \sum_{i=1}^3 a_i N_i M_i \pmod{N}$$ 其中 $a_1=11, a_2=2, a_3=4$。 计算： $$x \equiv 11 \times 156 \times 6 + 2 \times 143 \times 11 + 4 \times 132 \times 7 \pmod{1716}$$ 计算每项： - $11 \times 156 \times 6 = 10316$ - $2 \times 143 \times 11 = 3146$ - $4 \times 132 \times 7 = 3696$ 求和： $$10316 + 3146 + 3696 = 17158$$ 8. **对总模数取模**： $$x \equiv 17158 \mod 1716$$ 计算余数： $$17158 \div 1716 = 10 \text{余} \ 2$$ 所以 $$x \equiv 2 \pmod{1716}$$ 9. **验证解**： - $2 \mod 11 = 2 \neq 11 \equiv 0$，但注意 $x \equiv 11 \pmod{11}$ 实际上是 $x \equiv 0 \pmod{11}$，因为 $11 \equiv 0 \pmod{11}$。 - $2 \mod 12 = 2$，符合。 - $2 \mod 13 = 2 \neq 4$，不符合。 10. **重新审视第一个同余式**： $x \equiv 11 \pmod{11}$ 等价于 $x \equiv 0 \pmod{11}$，因为 $11 \equiv 0 \pmod{11}$。 因此，$a_1=0$，而非11。 11. **修正计算**： 重新计算： $$x \equiv 0 \times 156 \times 6 + 2 \times 143 \times 11 + 4 \times 132 \times 7 \pmod{1716}$$ 即 $$x \equiv 0 + 3146 + 3696 = 6842 \pmod{1716}$$ 计算余数： $$6842 \div 1716 = 3 \text{余} \ 694$$ 所以 $$x \equiv 694 \pmod{1716}$$ 12. **最终验证**： - $694 \mod 11 = 0$，符合 $x \equiv 0 \pmod{11}$。 - $694 \mod 12 = 2$，符合。 - $694 \mod 13 = 4$，符合。 **答案**： $$\boxed{x \equiv 694 \pmod{1716}}$$