**1. Probleemi esitlus:** Leiame asendamise piirmäära MRS, kui kasulikkuse funktsioon on $$u(x_1, x_2) = x_1^{\frac{1}{3}} x_2^{\frac{2}{3}}$$. **2. MRS definitsioon:** Asendamise piirmäär ehk marginaalne asendusmäär (MRS) on marginaalsete kasulikkuste (partial derivatives) suhe ja näitab, kui palju tarbija on nõus ühikuid kauba 2 andma, et saada veel üks ühik kaupa 1, jäädes sama kasulikkuse tasemele: $$MRS = - \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2}$$ **3. Arvutame osatuletised:** $$\frac{\partial u}{\partial x_1} = \frac{1}{3} x_1^{-\frac{2}{3}} x_2^{\frac{2}{3}}$$ $$\frac{\partial u}{\partial x_2} = \frac{2}{3} x_1^{\frac{1}{3}} x_2^{-\frac{1}{3}}$$ **4. Asendame osatuletised MRS valemisse:** $$MRS = - \frac{\frac{1}{3} x_1^{-\frac{2}{3}} x_2^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3} x_1^{\frac{1}{3}} x_2^{-\frac{1}{3}}} = - \frac{1/3}{2/3} \times \frac{x_1^{-\frac{2}{3}}}{x_1^{\frac{1}{3}}} \times \frac{x_2^{\frac{2}{3}}}{x_2^{-\frac{1}{3}}}$$ **5. Lihtsustame eksponente:** $$\frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$$ $$x_1^{-\frac{2}{3}} / x_1^{\frac{1}{3}} = x_1^{-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = x_1^{-1}$$ $$x_2^{\frac{2}{3}} / x_2^{-\frac{1}{3}} = x_2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = x_2^{1}$$ **6. Lõplik tulemus:** $$MRS = - \frac{1}{2} x_1^{-1} x_2 = - \frac{x_2}{2 x_1}$$ See tähendab, et asendamise piirmäär on $$MRS = - \frac{x_2}{2 x_1}$$.