1. **بيان المسألة:** لدينا دالة المنفعة $$u = x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{3}{4}}$$. نريد إيجاد المعدل الحدي للإبدال (TMS) وشرحه، ثم إثبات أن منحنى السواء محدب نحو نقطة الأصل. 2. **المعدل الحدي للإبدال (TMS):** هو المعدل الذي يمكن به استبدال السلعة $$x$$ بالسلعة $$y$$ مع بقاء مستوى المنفعة ثابتًا. الصيغة العامة لـ TMS هي: $$ TMS = -\frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u}{\partial y}} $$ 3. **حساب المشتقات الجزئية:** $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{3}{4}} $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3}{4} x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{1}{4}} $$ 4. **حساب TMS:** $$ TMS = -\frac{\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4} x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{1}{4}}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{y^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} $$ 5. **تفسير TMS:** المعدل الحدي للإبدال هو $$-\frac{1}{3} \frac{y}{x}$$، مما يعني أنه لاستبدال وحدة واحدة من $$x$$ يجب التخلي عن $$\frac{1}{3} \frac{y}{x}$$ وحدة من $$y$$ للحفاظ على نفس مستوى المنفعة. 6. **إثبات محدبية منحنى السواء نحو نقطة الأصل:** منحنى السواء هو مجموعة النقاط التي تحقق: $$ u = x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{3}{4}} = c $$ نأخذ اللوغاريتم الطبيعي: $$ \ln u = \frac{1}{4} \ln x + \frac{3}{4} \ln y = \ln c $$ نعتبر دالة: $$ f(x,y) = \frac{1}{4} \ln x + \frac{3}{4} \ln y $$ حيث أن منحنى السواء هو خط المستوى $$f(x,y) = \ln c$$. نحسب المصفوفة الهيسية (Hessian) لـ $$f$$: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -\frac{1}{4 x^2} < 0 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\frac{3}{4 y^2} < 0 $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0 $$ بما أن المصفوفة الهيسية سالبة المعرفة، فإن دالة $$f$$ محدبة للأسفل، مما يعني أن منحنى السواء محدب نحو نقطة الأصل. **النتيجة النهائية:** - المعدل الحدي للإبدال هو $$TMS = -\frac{1}{3} \frac{y}{x}$$. - منحنى السواء لهذه الدالة محدب نحو نقطة الأصل.