1. **Problem statement:** En konsument har nyttefunksjonen $$U(x,y) = x^\alpha y^\beta$$ og ønsker å maksimere denne gitt budsjettbetingelsen $$5x + 5y = 100$$. 2. **Formulere Lagrangefunksjonen:** Lagrangefunksjonen er: $$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = x^\alpha y^\beta + \lambda (100 - 5x - 5y)$$ Her er $$\lambda$$ Lagrangemultiplikatoren som representerer skyggeprisen på budsjettbegrensningen. 3. **Finne optimal løsning:** Vi finner førsteordensbetingelsene ved å derivere $$\mathcal{L}$$ med hensyn til $$x$$, $$y$$ og $$\lambda$$: $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \alpha x^{\alpha-1} y^\beta - 5\lambda = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = \beta x^\alpha y^{\beta-1} - 5\lambda = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 100 - 5x - 5y = 0$$ 4. **Løse for $$x$$ og $$y$$:** Fra de to første likningene: $$\alpha x^{\alpha-1} y^\beta = \beta x^\alpha y^{\beta-1}$$ Del begge sider på $$x^{\alpha-1} y^{\beta-1}$$: $$\alpha y = \beta x$$ Dette gir: $$y = \frac{\beta}{\alpha} x$$ Sett dette inn i budsjettbetingelsen: $$5x + 5 \left( \frac{\beta}{\alpha} x \right) = 100$$ $$5x \left(1 + \frac{\beta}{\alpha} \right) = 100$$ $$5x \frac{\alpha + \beta}{\alpha} = 100$$ $$x = \frac{100 \alpha}{5 (\alpha + \beta)} = \frac{20 \alpha}{\alpha + \beta}$$ Deretter: $$y = \frac{\beta}{\alpha} x = \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{20 \alpha}{\alpha + \beta} = \frac{20 \beta}{\alpha + \beta}$$ 5. **Nytte i optimal løsning:** Sett $$x$$ og $$y$$ inn i nyttefunksjonen: $$U^* = \left( \frac{20 \alpha}{\alpha + \beta} \right)^\alpha \left( \frac{20 \beta}{\alpha + \beta} \right)^\beta$$ 6. **Spesifikk løsning for $$\alpha = 0.5$$ og $$\beta = 0.5$$:** $$x = \frac{20 \times 0.5}{0.5 + 0.5} = \frac{10}{1} = 10$$ $$y = \frac{20 \times 0.5}{1} = 10$$ Nytte: $$U^* = 10^{0.5} \times 10^{0.5} = 10$$