1. **Δήλωση του προβλήματος:** Έχουμε τη συνάρτηση ζήτησης $Q = 50 - 2P$, όπου $Q$ είναι η ζητούμενη ποσότητα και $P$ η τιμή. Το κόστος ανά μονάδα είναι 10 και το σταθερό κόστος 3. 2. **Εύρεση της συνάρτησης κερδών $\Pi(Q)$:** Αρχικά, εκφράζουμε την τιμή $P$ ως συνάρτηση του $Q$: $$P = \frac{50 - Q}{2}$$ Τα συνολικά έσοδα (TR) είναι: $$TR = P \times Q = \frac{50 - Q}{2} \times Q = 25Q - \frac{Q^2}{2}$$ Το συνολικό κόστος (TC) είναι: $$TC = 10Q + 3$$ Άρα, η συνάρτηση κερδών είναι: $$\Pi(Q) = TR - TC = 25Q - \frac{Q^2}{2} - 10Q - 3 = 15Q - \frac{Q^2}{2} - 3$$ 3. **Εύρεση των τιμών του $Q$ για θετικά, μηδενικά και αρνητικά κέρδη:** Θέτουμε $\Pi(Q) = 0$ για να βρούμε τα σημεία όπου τα κέρδη μηδενίζονται: $$15Q - \frac{Q^2}{2} - 3 = 0$$ Πολλαπλασιάζουμε με 2 για απλοποίηση: $$30Q - Q^2 - 6 = 0$$ ή $$Q^2 - 30Q + 6 = 0$$ Χρησιμοποιούμε τον τύπο του δευτεροβάθμιου: $$Q = \frac{30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 24}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{876}}{2}$$ Υπολογίζουμε: $$\sqrt{876} \approx 29.61$$ Άρα: $$Q_1 = \frac{30 - 29.61}{2} \approx 0.195$$ $$Q_2 = \frac{30 + 29.61}{2} \approx 29.805$$ Επομένως: - Για $Q$ μεταξύ $0.195$ και $29.805$, τα κέρδη είναι θετικά. - Για $Q = 0.195$ ή $Q = 29.805$, τα κέρδη είναι μηδενικά. - Για $Q < 0.195$ ή $Q > 29.805$, τα κέρδη είναι αρνητικά. 4. **Διάγραμμα κερδών:** Για $Q$ από 0 έως 31 με βήμα 1, υπολογίζουμε $\Pi(Q) = 15Q - \frac{Q^2}{2} - 3$. Το διάγραμμα θα έχει τίτλο «Διάγραμμα Κερδών», ο κάθετος άξονας τίτλο «$\Pi(Q)$» και ο οριζόντιος άξονας τίτλο «$Q$». (Η δημιουργία του διαγράμματος γίνεται στο Excel όπως ζητείται και δεν περιλαμβάνεται εδώ.)