1. **Énoncé du problème** : M. JB veut maximiser son utilité $U = f(x,y) = x \cdot y$ sous la contrainte budgétaire initiale $20x + 25y = 1000$. 2. **Formule et règles importantes** : Pour maximiser l'utilité sous contrainte, on utilise la méthode du multiplicateur de Lagrange ou on égalise les utilités marginales pondérées par les prix. L'utilité marginale par rapport à $x$ est $\frac{\partial U}{\partial x} = y$ et par rapport à $y$ est $\frac{\partial U}{\partial y} = x$. 3. **Maximisation initiale** : - La contrainte budgétaire est $20x + 25y = 1000$. - Le rapport des utilités marginales pondérées par les prix est $\frac{\partial U/\partial x}{p_x} = \frac{y}{20}$ et $\frac{\partial U/\partial y}{p_y} = \frac{x}{25}$. - À l'optimum, ces rapports sont égaux : $\frac{y}{20} = \frac{x}{25} \Rightarrow 25y = 20x \Rightarrow y = \frac{20}{25}x = \frac{4}{5}x$. 4. **Substitution dans la contrainte** : $$20x + 25 \times \frac{4}{5}x = 1000$$ $$20x + 20x = 1000$$ $$40x = 1000$$ $$x = \frac{1000}{40} = 25$$ 5. **Calcul de $y$** : $$y = \frac{4}{5} \times 25 = 20$$ 6. **Panier optimal initial** : $x=25$ kilos de poisson, $y=20$ kilos de riz. 7. **Après allocation supplémentaire de 200 gourdes** : - Nouveau budget : $1000 + 200 = 1200$ gourdes. - Nouvelle contrainte : $20x + 25y = 1200$. - Même méthode : $y = \frac{4}{5}x$. - Substitution : $$20x + 25 \times \frac{4}{5}x = 1200$$ $$20x + 20x = 1200$$ $$40x = 1200$$ $$x = \frac{1200}{40} = 30$$ 8. **Calcul de $y$ avec nouveau budget** : $$y = \frac{4}{5} \times 30 = 24$$ 9. **Nouveau panier optimal** : $x=30$ kilos de poisson, $y=24$ kilos de riz. **Réponse finale** : - Panier optimal initial : $(x,y) = (25,20)$ - Panier optimal après allocation : $(x,y) = (30,24)$