1. Énoncé du problème : M. JB a une fonction d'utilité $U = f(x,y) = xy$ où $x$ est le nombre de kilos de poisson et $y$ le nombre de kilos de riz. Il dispose d'un budget de 1000 gourdes. Le prix du poisson est 20 gourdes par kilo et celui du riz 25 gourdes par kilo. On cherche le panier optimal $(x,y)$ qui maximise l'utilité sous la contrainte budgétaire. 2. Formule et contraintes : La contrainte budgétaire est $$20x + 25y = 1000$$ On veut maximiser $$U = xy$$ sous cette contrainte. 3. Méthode : On utilise la méthode du multiplicateur de Lagrange. Définissons $$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = xy + \lambda(1000 - 20x - 25y)$$ 4. Calcul des dérivées partielles : $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y - 20\lambda = 0 \Rightarrow y = 20\lambda$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x - 25\lambda = 0 \Rightarrow x = 25\lambda$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 1000 - 20x - 25y = 0$$ 5. Substitution : Remplaçons $x$ et $y$ dans la contrainte : $$1000 - 20(25\lambda) - 25(20\lambda) = 0$$ $$1000 - 500\lambda - 500\lambda = 0$$ $$1000 - 1000\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$$ 6. Calcul des quantités optimales : $$x = 25 \times 1 = 25$$ $$y = 20 \times 1 = 20$$ 7. Après la hausse, M. JB reçoit une allocation de 100 gourdes, donc son budget devient 1100 gourdes. La nouvelle contrainte est $$20x + 25y = 1100$$ 8. Reprenons la même méthode : $$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = xy + \lambda(1100 - 20x - 25y)$$ Dérivées : $$y = 20\lambda$$ $$x = 25\lambda$$ Contrainte : $$1100 - 20(25\lambda) - 25(20\lambda) = 0$$ $$1100 - 500\lambda - 500\lambda = 0$$ $$1100 - 1000\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1.1$$ 9. Nouvelles quantités optimales : $$x = 25 \times 1.1 = 27.5$$ $$y = 20 \times 1.1 = 22$$ 10. Conclusion : Le panier optimal initial est $(x,y) = (25,20)$ kilos. Après l'allocation, le panier optimal devient $(27.5,22)$ kilos pour maximiser l'utilité.