1. **Énoncé du problème** : Montrer que l'ensemble $$\mathcal{M}_E = \{E \cap A : A \in \mathcal{M}\}$$ est une tribu sur $$E$$, où $$\mathcal{M}$$ est une tribu sur $$X$$ et $$E \subset X$$. 2. **Définition importante** : Une tribu sur un ensemble est une collection d'ensembles qui contient l'ensemble vide, est stable par complémentaire et par union dénombrable. 3. **Construction de l'application d'injection** : On définit $$i_E : E \to X$$ par $$i_E(x) = x$$. Cette application est injective et identifie $$E$$ comme un sous-ensemble de $$X$$. 4. **Image réciproque d'une tribu** : L'image réciproque par $$i_E$$ d'une tribu $$\mathcal{M}$$ sur $$X$$ est $$$i_E^{-1}(\mathcal{M}) = \{i_E^{-1}(A) : A \in \mathcal{M}\}$$$ qui est une tribu sur $$E$$ car l'image réciproque d'une tribu par une application est toujours une tribu. 5. **Calcul de l'image réciproque** : Pour tout $$A \in \mathcal{M}$$, $$$i_E^{-1}(A) = \{x \in E : i_E(x) \in A\} = \{x \in E : x \in A\} = E \cap A.$$$ 6. **Conclusion** : On a donc $$$i_E^{-1}(\mathcal{M}) = \{E \cap A : A \in \mathcal{M}\} = \mathcal{M}_E,$$$ qui est une tribu sur $$E$$. Ainsi, la tribu trace $$\mathcal{M}_E$$ est bien une tribu sur $$E$$, construite à partir de la tribu $$\mathcal{M}$$ sur $$X$$ par intersection avec $$E$$.