1. **Menentukan frekuensi natural kanopi WF 150** Diketahui: - Panjang balok $L = 120$ cm - Nilai kekakuan lentur $EI = 420000$ N/cm² - Beban massa $M = 1100$ kg - Kekakuan pegas $k = 3$ N/cm - Konversi: $1$ N/cm = $100$ kg.m/det² Langkah-langkah: 1. Frekuensi natural sistem massa-pegas dapat dihitung dengan rumus: $$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}}$$ 2. Konversi kekakuan pegas ke satuan massa: $$k_{eq} = k \times 100 = 3 \times 100 = 300 \text{ kg.m/det}^2$$ 3. Massa sudah dalam kg, jadi: $$m = 1100 \text{ kg}$$ 4. Substitusi ke rumus frekuensi: $$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{300}{1100}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{0.2727} = \frac{1}{6.2832} \times 0.5222 = 0.0831 \text{ Hz}$$ Jadi, frekuensi natural kanopi adalah sekitar $0.0831$ Hz. 2. **Menentukan frekuensi getar alami dan pola normal struktur 2 lantai** Diketahui: - Massa lantai 1: $m_1 = 2$ - Massa lantai 2: $m_2 = 1$ - Kekakuan pegas lantai 1 dan 2: $k_1 = k_2 = 2$ Langkah-langkah: 1. Bentuk matriks massa $M$ dan kekakuan $K$: $$M = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad K = \begin{bmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$$ 2. Persamaan eigen untuk frekuensi natural: $$\det(K - \omega^2 M) = 0$$ 3. Hitung determinan: $$\det \begin{bmatrix} 4 - 2\omega^2 & -2 \\ -2 & 2 - \omega^2 \end{bmatrix} = (4 - 2\omega^2)(2 - \omega^2) - (-2)(-2) = 0$$ 4. Kembangkan: $$ (4 - 2\omega^2)(2 - \omega^2) - 4 = 0$$ $$ 8 - 4\omega^2 - 4\omega^2 + 2\omega^4 - 4 = 0$$ $$ 2\omega^4 - 8\omega^2 + 4 = 0$$ 5. Bagi semua dengan 2: $$ \omega^4 - 4\omega^2 + 2 = 0$$ 6. Substitusi $x = \omega^2$: $$ x^2 - 4x + 2 = 0$$ 7. Gunakan rumus kuadrat: $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$ 8. Jadi: $$ \omega_1^2 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586, \quad \omega_2^2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414$$ 9. Frekuensi natural: $$ f_i = \frac{\omega_i}{2\pi}$$ 10. Hitung frekuensi: $$ f_1 = \frac{\sqrt{0.586}}{2\pi} = \frac{0.765}{6.283} = 0.122 \text{ Hz}$$ $$ f_2 = \frac{\sqrt{3.414}}{2\pi} = \frac{1.848}{6.283} = 0.294 \text{ Hz}$$ 11. Untuk pola normal, substitusi nilai $\omega^2$ ke persamaan: $$ (K - \omega^2 M) \phi = 0$$ Misal untuk $\omega_1^2$: $$ \begin{bmatrix} 4 - 2(0.586) & -2 \\ -2 & 2 - 0.586 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \end{bmatrix} = 0$$ $$ \begin{bmatrix} 4 - 1.172 & -2 \\ -2 & 1.414 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \end{bmatrix} = 0$$ $$ \begin{bmatrix} 2.828 & -2 \\ -2 & 1.414 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \end{bmatrix} = 0$$ Dari baris pertama: $$ 2.828 \phi_1 - 2 \phi_2 = 0 \Rightarrow \phi_2 = 1.414 \phi_1$$ Pola normal pertama adalah: $$ \phi^{(1)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1.414 \end{bmatrix}$$ Untuk $\omega_2^2$: $$ \begin{bmatrix} 4 - 2(3.414) & -2 \\ -2 & 2 - 3.414 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 6.828 & -2 \\ -2 & -1.414 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2.828 & -2 \\ -2 & -1.414 \end{bmatrix}$$ Dari baris pertama: $$ -2.828 \phi_1 - 2 \phi_2 = 0 \Rightarrow \phi_2 = -1.414 \phi_1$$ Pola normal kedua adalah: $$ \phi^{(2)} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1.414 \end{bmatrix}$$ **Kesimpulan:** - Frekuensi natural pertama $\approx 0.122$ Hz dengan pola normal $[1, 1.414]$ - Frekuensi natural kedua $\approx 0.294$ Hz dengan pola normal $[1, -1.414]$